Stepeni i koreni

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \qquad (ab)^n = a^nb^n$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \qquad a^0 = 1\ (a\neq0)$$

$$\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b \qquad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} \qquad \sqrt[n]{a^n} = |a| \text{ za parno } n \;(\text{npr. } \sqrt{x^2} = |x|!)$$

Logaritmi i eksponencijalna funkcija

Definicija: $\;\log_a x = y \iff a^y = x$. Prirodni logaritam: $\ln x = \log_e x$, gde je $e \approx 2{,}718$.

$$\ln(xy) = \ln x + \ln y \qquad \ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y \qquad \ln x^{\alpha} = \alpha\ln x$$

$$\ln 1 = 0 \qquad \ln e = 1 \qquad e^{\ln x} = x \qquad \ln e^x = x \qquad a^x = e^{x\ln a}$$

Promena baze: $\;\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$. Domen: $\ln x$ definisan samo za $x > 0$ (zato u rešenjima DJ piše $\ln|x|$).

Kako se koristi u DJ zadacima (spajanje logaritama pri rešavanju):

$$\ln|y| = \ln|x| + \ln|C| = \ln|Cx| \;\Rightarrow\; y = Cx \qquad\quad \ln|y| = -\ln|x| = \ln|x|^{-1} \;\Rightarrow\; y = \frac{C}{x}$$

$$2\ln|x| = \ln x^2 \qquad\quad \ln|y| = x + C_1 \;\Rightarrow\; |y| = e^{x+C_1} = e^{C_1}e^x \;\Rightarrow\; y = Ce^x$$

Grafik: $e^x > 0$ uvek; $e^x \to 0$ kad $x\to-\infty$; $\ln x \to -\infty$ kad $x\to0^+$. Eksponencijalna „pobeđuje” svaki stepen: $\frac{x^n}{e^x} \to 0$.

Kvadratna jednačina i faktorizacije

$$ax^2 + bx + c = 0 \;\Longrightarrow\; x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

• $D = b^2 - 4ac > 0$: dva realna korena; $D = 0$: dvostruki koren; $D < 0$: konjugovano-kompleksni $x_{1,2} = \alpha \pm i\beta$ (javljaju se kod karakteristične jednačine LDJVR!).
• Vietove formule: $x_1 + x_2 = -\frac ba$, $\;x_1x_2 = \frac ca$. Faktorizacija: $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$.

Dopuna do punog kvadrata (ključno za krugove/sfere):

$$x^2 + px = \Big(x + \frac p2\Big)^2 - \frac{p^2}{4} \qquad\text{npr. } x^2+y^2 = ax \iff \Big(x-\frac a2\Big)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$$

Faktorizacije:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \qquad a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$

$$(a\pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \qquad\text{npr. } r^3 - 6r^2 + 12r - 8 = (r-2)^3$$

Kompleksni brojevi (minimum): $i^2 = -1$; $\sqrt{-16} = 4i$; koreni KJ $\alpha \pm i\beta$ čitaju se iz $\frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$.

Apsolutna vrednost i parnost

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0\\ -x, & x < 0\end{cases} \qquad \sqrt{x^2} = |x| \qquad \frac{x}{|x|} = \operatorname{sgn} x = \pm1$$

Parna funkcija: $f(-x) = f(x)$ (simetrična oko $y$-ose): $x^2$, $\cos x$, $|x|$. Neparna: $f(-x) = -f(x)$: $x$, $x^3$, $\sin x$, $\tan x$.

Proizvodi: parna·parna = parna; parna·neparna = neparna; neparna·neparna = parna.

Integrali u simetričnim granicama (ogroman štediša vremena — koristi se kod Furijeovih redova i višestrukih integrala):

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \begin{cases} 2\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx, & f \text{ parna}\\[4pt] 0, & f \text{ neparna}\end{cases}$$

Trigonometrija: vrednosti

Vrednosti sa $n$ (stalno trebaju kod Furijeovih redova!):

$$\cos n\pi = (-1)^n \qquad \sin n\pi = 0 \qquad \cos 2n\pi = 1$$

$$\sin\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} 0, & n \text{ parno}\\ (-1)^{k-1}, & n = 2k-1 \end{cases} \qquad \cos\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} (-1)^{k}, & n = 2k\\ 0, & n \text{ neparno} \end{cases}$$

Znaci po kvadrantima ($\sin$ / $\cos$): I: $+/+$; II: $+/-$; III: $-/-$; IV: $-/+$. Parnost: $\cos(-x) = \cos x$ (parna), $\sin(-x) = -\sin x$ (neparna).

Periodičnost: $\sin$ i $\cos$ imaju period $2\pi$; $\sin nx$ i $\cos nx$ period $\frac{2\pi}{n}$; $\tan$ period $\pi$.

Trigonometrija: identiteti

Osnovni:

$$\sin^2x + \cos^2x = 1 \qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad 1 + \tan^2x = \frac{1}{\cos^2x}$$

Dvostruki ugao:

$$\sin 2x = 2\sin x\cos x \qquad \cos 2x = \cos^2x - \sin^2x = 1 - 2\sin^2x = 2\cos^2x - 1$$

Kvadrati (snižavanje stepena — ključ za integrale $\int\sin^2$, $\int\cos^2$):

$$\sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \qquad \cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \qquad \sin^2x\cos^2x = \frac{\sin^22x}{4}$$

Poluugao (koristi se kod $\sqrt{2+2\cos t}$):

$$1 + \cos t = 2\cos^2\frac t2 \qquad 1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2 \qquad\Rightarrow\qquad \sqrt{2+2\cos t} = 2\Big|\cos\frac t2\Big|$$

Zbir i razlika uglova:

$$\sin(x \pm y) = \sin x\cos y \pm \cos x\sin y \qquad \cos(x \pm y) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y$$

Standardni integrali na punom periodu (provera „na oko”):

$$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = \int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0 \qquad \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx = \int_0^{2\pi}\cos^2x\,dx = \pi$$

Poznati limesi

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12$$

Posledica za redove: kad $a_n \to 0$, važi $\sin a_n \sim a_n$, $\ln(1+a_n) \sim a_n$ (drugi poredbeni kriterijum sa $\ell = 1$).

Broj $e$ (stalno u Dalamberu i Košiju!):

$$\lim_{n\to\infty}\Big(1 + \frac1n\Big)^n = e \qquad \lim_{n\to\infty}\Big(1 - \frac1n\Big)^n = e^{-1} \qquad \lim_{n\to\infty}\Big(1 + \frac{k}{n}\Big)^n = e^k$$

Opšti oblik: ako $b_n \to \infty$, onda $\Big(1 + \frac{1}{b_n}\Big)^{b_n} \to e$.

Koreni i stepeni:

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1 \qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c} = 1\ (c>0) \qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{P(n)} = 1 \text{ za svaki polinom}$$

Tip „$\infty^0$“: napiši $f^g = e^{g\ln f}$, npr. $(2n-1)^{1/n} = e^{\frac{\ln(2n-1)}{n}} \to e^0 = 1$.

Hijerarhija rastova: $\ln n \ll n^{\alpha} \ll a^n \ll n! \ll n^n$ (svaki sledeći „pobeđuje” prethodni u količniku).

Tablica izvoda

Pravila:

$$(f \pm g)' = f' \pm g' \qquad (cf)' = cf' \qquad (fg)' = f'g + fg' \qquad \Big(\frac fg\Big)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Izvod složene funkcije (lančano pravilo) — najvažnije pravilo u celoj skripti:

$$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x))\cdot g'(x) \qquad\text{npr. } \big(e^{-x^2}\big)' = e^{-x^2}\cdot(-2x), \quad \big(\ln^2x\big)' = 2\ln x\cdot\frac1x$$

Kod parcijalnih izvoda ($\frac{\partial f}{\partial x}$): sve ostale promenljive tretiraš kao konstante, pravila su ista.

Tablica integrala

Korisno za redove i Furijea: $\;\int\frac{\ln x}{x}dx = \frac{\ln^2x}{2} + C$ (smena $t = \ln x$); $\;\int\sin^2x\,dx = \frac x2 - \frac{\sin2x}{4} + C$; $\;\int\sin^3x\,dx$ → smena $u = \cos x$ (vidi smenu).

Linearnost: $\int(\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g$. Obrtanje granica: $\int_a^b = -\int_b^a$.

Smena u integralu

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx \overset{t = g(x)}{=} \int f(t)\,dt$$

Primeri koji se stalno javljaju: $t = \ln x$ ($dt = \frac{dx}{x}$); $t = x^2$ ($dt = 2x\,dx$); $t = 1 + e^x$ ($dt = e^xdx$); $t = \cos x$ ($dt = -\sin x\,dx$); $t = a^2 - \rho^2$ ($dt = -2\rho\,d\rho$ — kod polusfere!); $t = \sin x$ ($dt = \cos x\,dx$).

Parcijalna integracija

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Radni primer (tip koji se javlja u Furijeovim redovima):

$$\int x\sin nx\,dx \;\overset{u = x,\; dv = \sin nx\,dx}{\underset{du = dx,\; v = -\frac1n\cos nx}{=}}\; -\frac xn\cos nx + \frac1n\int\cos nx\,dx = -\frac xn\cos nx + \frac{1}{n^2}\sin nx + C$$

Parcijalni razlomci

Racionalnu funkciju $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (stepen brojioca < stepen imenioca) rastavljaš po faktorima imenioca:

Radni primer: $\dfrac{1}{x(1+2x)} = \dfrac Ax + \dfrac{B}{1+2x}$: množenjem $1 = A(1+2x) + Bx = (2A+B)x + A$, pa $A = 1$, $B = -2$:

$$\int\frac{dx}{x(1+2x)} = \ln|x| - 2\cdot\frac12\ln|1+2x| = \ln|x| - \ln|1+2x| + C$$

Krive i površi drugog reda

U ravni (za oblasti integracije i domene):

Kružnica kroz koordinatni početak: $x^2 + y^2 = ax \iff (x - \frac a2)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ (dopuna do kvadrata).

U prostoru (prepoznavanje površi — presudno za trojne i površinske integrale):

Presek dve površi: reši sistem (saberi/oduzmi jednačine) → kriva preseka → projekcija na $Oxy$ daje oblast $D$.

Rastojanje tačke od prave $Ax + By + C = 0$: $\;d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

Determinante

$$\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc$$

Razvoj $3\times3$ po prvoj vrsti (znaci $+,-,+$):

$$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix} = a_1\begin{vmatrix}b_2 & b_3\\ c_2 & c_3\end{vmatrix} - a_2\begin{vmatrix}b_1 & b_3\\ c_1 & c_3\end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix}b_1 & b_2\\ c_1 & c_2\end{vmatrix}$$

Koristi se: glavni minori Hesijana ($D_1, D_2, D_3$ — Silvester) i rotor u Stoksovoj formuli.

Smene koordinata i jakobijani

Opsezi: $\rho \ge 0$; $\varphi \in [0, 2\pi)$ (ceo krug) ili uži za sektor; $\theta \in [0, \pi]$ ($\theta = 0$ je $+z$ osa, $\theta = \frac{\pi}{2}$ ravan $Oxy$).

Elementi za krive/površi: $\;ds = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}\,dt$; za grafik $y = g(x)$: $ds = \sqrt{1+g'^2}\,dx$; za površ $z = Z(x,y)$: $dS = \sqrt{1 + Z_x^2 + Z_y^2}\,dxdy$; za sferu poluprečnika $a$: $dS = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy$.