Matematika 3 · Nulti čas

Osnove — pređi ovo pre svega

Sve što zadaci u skriptama prećutno podrazumevaju: notacija, lančano pravilo, izbor tehnike integracije, rad sa dy/dx, sistemi, kompleksni brojevi. Pola sata čitanja + ček-lista na kraju — pa tek onda Dan 1.

1. Notacija — kako se šta čita

Oznaka	Čita se / znači
$y' = \frac{dy}{dx}$	izvod funkcije $y(x)$ ; $y’’ $ drugi izvod; $y^{(n)}$ $n$ -ti izvod
$\frac{\partial f}{\partial x}$ , $f_x$	parcijalni izvod po $x$ — ostale promenljive su konstante
$\int f\,dx$	neodređeni integral (rezultat + $C$ !)
$\int_a^b$ , $\iint_D$ , $\iiint_T$	određeni / dvojni (po oblasti u ravni) / trojni (po telu)
$\oint_C$	integral po zatvorenoj krivoj
$ds$ , $dS$	element dužine luka krive / element površine površi
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$	red — beskonačan zbir; pitanje je da li konvergira
$C, C_1, A, B \in \mathbb{R}$	proizvoljne konstante (koliko je red jednačine, toliko konstanti)
$\Rightarrow$ , $\iff$	„sledi” / „ekvivalentno”
$f(x)\sim g(x)$	ponašaju se isto u limesu (količnik teži 1)

2. Izvodi: jedino što stvarno moraš — lančano pravilo

Tablicu izvoda imaš u podsetniku (↗ tablica izvoda) — nju nauči napamet, to je 10 minuta. Ono što odlučuje da li ćeš umeti zadatke je lančano pravilo:

$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x))\cdot g'(x) \qquad\text{„izvod spoljašnje × izvod unutrašnje"}$

Razrađeni primeri — tačno ovi oblici se javljaju u skriptama

1) $\big(e^{-x^2}\big)'$ : spoljašnja $e^{\square}$ (izvod: $e^{\square}$ ), unutrašnja $-x^2$ (izvod: $-2x$ ):

$\big(e^{-x^2}\big)' = e^{-x^2}\cdot(-2x)$

2) $\big(\ln^2x\big)' = \big((\ln x)^2\big)'$ : spoljašnja $\square^2$ , unutrašnja $\ln x$ :

$= 2\ln x\cdot\frac1x$

3) $\big(\sqrt{a^2 - x^2}\big)'$ : spoljašnja $\sqrt{\square}$ (izvod $\frac{1}{2\sqrt\square}$ ), unutrašnja $a^2 - x^2$ :

$= \frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

4) Parcijalni: $\dfrac{\partial}{\partial x}\cos^2(x+y)$ — $y$ je konstanta; lanac je $\square^2 \to \cos\square \to x+y$ :

$= 2\cos(x+y)\cdot\big({-\sin(x+y)}\big)\cdot 1$

Dva pravila koja se često mešaju

Proizvod: $(fg)' = f'g + fg'$ — npr. $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$ (ne $\cos x$ !).
Količnik: $\big(\frac fg\big)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ — minus je u brojiocu, kvadrat u imeniocu.

3. Integrali: koju tehniku kad

Kod svakog integrala u ovom kursu postavi redom četiri pitanja — prvo koje prođe, to radiš:

Stablo odlučivanja

Da li je tablični (ili tablični posle sređivanja)? → ↗ tablica integrala npr. $\int\frac{dx}{1+x^2} = \arctan x$ ; $\int(x^2 - \frac1x)dx$ — razdvoji pa tablično.
Vidi li se „funkcija i njen izvod”? → smena $t = $ unutrašnja funkcija — ↗ smena npr. $\int\frac{\ln x}{x}dx$ (vidi se $\ln x$ i $\frac1x$ ); $\int xe^{x^2}dx$ (vidi se $x^2$ i $x$ ).
Polinom × (eksponencijalna ili trigonometrijska)? → parcijalna integracija — ↗ p.i. npr. $\int xe^xdx$ , $\int x^2\cos nx\,dx$ (dvaput!), $\int\ln x\,dx$ (u = ln x).
Racionalna funkcija (polinom/polinom)? → parcijalni razlomci — ↗ p.r. npr. $\int\frac{dx}{x(1+2x)}$ , $\int\frac{du}{u(1+u)}$ .

Ako ništa ne prolazi: pogledaj da li pomaže trigonometrijski identitet ( $\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}$ …) — ↗ identiteti.

4. Pet smena koje rešavaju 90% integrala u ovom kursu

#	Kad vidiš	Smena	Gde se javlja
1	$\dfrac{\ln x}{x}$	$t = \ln x$ , $dt = \frac{dx}{x}$	Bernulijeve DJ, integralni kriterijum
2	$x\,e^{x^2}$ ili $y\,e^{y^2/2}$	$t = x^2$ (odn. $\frac{y^2}{2}$ )	DJ 1. reda, Rikatijeva
3	$\dfrac{e^x}{1+e^x}$	$t = 1 + e^x$ , $dt = e^xdx$	varijacija konstanti
4	$\sin$ / $\cos$ i njegov izvod (npr. $\frac{\cos x}{\sin x}$ , $\cos^4\theta\sin\theta$ )	$t = \sin x$ (odn. $\cos\theta$ )	varijacija konstanti, sferne koordinate
5	$\dfrac{\rho}{\sqrt{a^2-\rho^2}}$	$t = a^2 - \rho^2$ , $dt = -2\rho\,d\rho$	površ sfere, polusfera ( $dS$ )

Prepoznavanje je pola posla: u svakom od ovih izvod unutrašnje funkcije već stoji u integralu — zato smena „radi”.

5. Rad sa dy/dx, konstante i ln|·|

Razdvajanje promenljivih počiva na tome da sa $\frac{dy}{dx}$ smeš da radiš kao sa razlomkom:

$\frac{dy}{dx} = P(x)Q(y) \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{Q(y)} = P(x)\,dx \;\Longrightarrow\; \int\frac{dy}{Q(y)} = \int P(x)\,dx$

Pravila za konstante (ovde se gube poeni!):

Konstanta se piše odmah pri integraciji, i to jedna (desno): $\ln|y| = x^2 + C$ , ne po jedna sa svake strane.
Konstanta „guta” sve: $e^{C_1} \to C$ , $2C_1 \to C$ , $\ln|C_1| \to$ zgodan oblik $\ln|C|$ za spajanje logaritama (↗ logaritmi). Piši $C \neq 0$ kad je $C = e^{C_1}$ ili $C_1 = \ln|C|$ .
Kod jednačine $n$ -tog reda na kraju mora biti tačno $n$ konstanti.
Kod metode $y = uv$ : konstanta ide samo kod $u$ (korak $v$ traži jedno konkretno rešenje, bez konstante).

Zašto $\ln|x|$ a ne $\ln x$ : $\int\frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ jer $\frac1x$ postoji i za $x<0$ a $\ln$ samo za pozitivne — apsolutna vrednost to pokriva. U rešenjima DJ zato svuda stoji $|\cdot|$ dok se ne apsorbuje u konstantu.

6. Sistemi jednačina

2×2 (neodređeni koeficijenti, stacionarne tačke) — metoda zamene ili sabiranja:

$\begin{cases}3A - 4B = 0\\ 4A + 3B = 25\end{cases} \;\overset{\cdot3,\ \cdot4}{\Longrightarrow}\; \begin{cases}9A - 12B = 0\\ 16A + 12B = 100\end{cases} \;\overset{+}{\Longrightarrow}\; 25A = 100 \Rightarrow A = 4,\ B = 3$

3×3 (stacionarne tačke u 3 promenljive, Lagranž sa dve veze): izrazi jednu promenljivu iz najjednostavnije jednačine, uvrsti u ostale → sistem 2×2. U zadacima iz skripte sistemi su uvek „pitomi” — ako ti ispadnu ružni brojevi, verovatno je greška u izvodima.

Determinante trebaju za minore Hesijana i Stoksa — ↗ determinante.

7. Kompleksni brojevi — minimum za KJ

Za karakterističnu jednačinu dovoljno je:

$i^2 = -1, \qquad \sqrt{-16} = 4i, \qquad r_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \;\overset{D<0}{=}\; \underbrace{\frac{-b}{2a}}_{\alpha} \pm i\,\underbrace{\frac{\sqrt{|D|}}{2a}}_{\beta}$

Primer: $r^2 - 6r + 13 = 0$ : $D = 36 - 52 = -16$ , pa $r_{1,2} = \frac{6\pm4i}{2} = 3\pm2i$ , tj. $\alpha = 3$ , $\beta = 2$ → rešenja homogene $e^{3x}\cos2x$ , $e^{3x}\sin2x$ . To je sve što ti treba.

8. Grafici koje moraš prepoznati

Za oblasti integracije i domene dovoljno je da iz glave skiciraš (nule, asimptote, oblik):

$y = x^2$ — parabola kroz $(0,0)$ , otvor gore; $y = 4 - x^2$ — otvor dole, teme $(0,4)$ , nule $\pm2$ .
$y = \frac1x$ — hiperbola u 1. i 3. kvadrantu; asimptote ose.
$y = e^x$ — raste, uvek $>0$ , prolazi kroz $(0,1)$ ; $y = \ln x$ — samo za $x>0$ , nula u $x=1$ , pada u $-\infty$ kod nule.
$\sin$ , $\cos$ — talasi na $[0, 2\pi]$ : $\sin$ kreće od 0, $\cos$ od 1; nule i znaci — ↗ tablica.
Krug, elipsa, prave $y = kx$ — ↗ krive i površi; u prostoru: sfera / cilindar / konus / paraboloid (tabela na istom mestu).

Navika koja spašava: svaku oblast integracije skiciraj, pa granice čitaj sa slike.

9. Kultura provere rešenja

DJ: uvrsti rešenje nazad u jednačinu (bar $y_p$ kod LDJVR). Košta 60 sekundi, hvata 90% grešaka.
Redovi: proveri potreban uslov ( $a_n \to 0$ ?) pre svega; rezultat kriterijuma uporedi sa „osećajem” (faktorijel u imeniocu → sigurno konvergira).
Integrali: znak i red veličine (zapremina ne može biti negativna!); simetrija često daje 0 bez računa.
Ekstremumi: vrednosti $f$ u nađenim tačkama izračunaj — često se traže, a i odmah vidiš besmislice.

10. Ček-lista spremnosti — uradi pre Dana 1

Kako

Svaku stavku uradi na papiru, pa otvori rešenje. Ako su ti 8+ od 10 tačne — spreman si, kreni sa planom. Ako nisu — vrati se na odgovarajuću sekciju gore i na podsetnik, pa ponovi sutra.

P1. Izračunaj $\big(x^2e^{3x}\big)'$

Prikaži rešenje

Proizvod + lanac: $2xe^{3x} + x^23e{3x} = $ $e^{3x}(2x + 3x^2)$

P2. Izračunaj $\dfrac{\partial}{\partial y}\big(x^2y^3 + \sin(xy)\big)$

Prikaži rešenje

$x$ je konstanta: $3x^2y2 + (xy)x = $ $3x^2y^2 + x\cos(xy)$

P3. Izračunaj $\displaystyle\int\frac{dx}{3x+2}$

Prikaži rešenje

Smena $t = 3x+2$ , $dt = 3dx$ : $ = $ $\frac13\ln|3x+2| + C$

P4. Izračunaj $\displaystyle\int xe^{x^2}dx$

Prikaži rešenje

Smena #2: $t = x^2$ , $dt = 2xdx$ : $e^tdt = $ $\frac12e^{x^2} + C$

P5. Izračunaj $\displaystyle\int x\cos x\,dx$

Prikaži rešenje

Parcijalna ( $u = x$ , $dv = \cos x\,dx$ , $v = \sin x$ ): $xx - x,dx = $ $x\sin x + \cos x + C$

P6. Rastavi $\dfrac{1}{x(x+1)}$ na parcijalne razlomke

Prikaži rešenje

$\frac Ax + \frac{B}{x+1}$ : $1 = A(x+1) + Bx \Rightarrow A = 1$ (za $x=0$ ), $B = -1$ (za $x=-1$ ):

$\dfrac1x - \dfrac{1}{x+1}$

P7. Reši sistem: $2A + B = 1$ , $A - B = 5$

Prikaži rešenje

Saberi: $3A = 6 \Rightarrow A = 2$ , $B = 1 - 4 = -3$ . $A = 2$ , $B = -3$

P8. Nađi korene $r^2 + 4r + 13 = 0$ i pročitaj $\alpha$ , $\beta$

Prikaži rešenje

$D = 16 - 52 = -36$ : $r_{1,2} = \frac{-4\pm6i}{2} = -2\pm3i$ . $\alpha = -2$ , $\beta = 3$

P9. Koliko je $\cos n\pi$ za $n = 1, 2, 3$ ? A $\sin\frac{n\pi}{2}$ za $n = 1, 2, 3$ ?

Prikaži rešenje

$\cos n\pi = (-1)^n$ : $-1, 1, -1$ . $\;\sin\frac{n\pi}{2}$ : $1, 0, -1$ . (↗ tablica)

P10. Skiciraj oblast između $y = x^2$ i $y = 2 - x$ i nađi presečne tačke

Prikaži rešenje

$x^2 = 2 - x \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$ ili $x = -2$ . Parabola je ispod prave između njih.

preseci $(-2, 4)$ i $(1, 1)$ ; oblast: $-2 \le x \le 1$ , $x^2 \le y \le 2-x$