Matematika 3 · Skripta za spremanje testa · Sekcija 2

Funkcije više promenljivih i integrali

Vežbe 6–10 · napravljeno prema beleškama i snimcima sa vežbi (2024/25) · svi zadaci sa vežbi su uključeni, sa postupkom i konačnim rezultatom

Sadržaj

Funkcije više promenljivih — domen · granične vrednosti · neprekidnost · parcijalni izvodi · diferencijabilnost
Lokalni i uslovni ekstremumi — stacionarne tačke · AC − B² · Silvester · Lagranžovi množioci
Dvojni i trojni integrali — opis oblasti · redosled integracije · polarne, cilindrične i sferne koordinate
Krivolinijski i površinski integrali prve vrste — dužina luka · rad · parametrizacije
Površinski integrali druge vrste i integralne formule — fluks · Grin · Gaus–Ostrogradski · Stoks
Brza mapa: prepoznaj tip zadatka
📋 Podsetnik (cheatsheet) — jakobijani · krive i površi · determinante · trigonometrija · integrali — sve formule na jednom mestu

Kako se uči iz ove skripte

Isto kao u Sekciji 1: teorija → recept → rešeni primeri → svi zadaci sa vežbi sa sklopivim rešenjima. U ovoj sekciji je crtanje presudno: za svaki integral prvo skiciraj oblast (makar grubo) — 80% grešaka dolazi od pogrešnih granica, ne od integraljenja.

6. Funkcije više promenljivih

Funkcija dve promenljive $f(x,y)$ svakoj tački oblasti $D \subseteq \mathbb{R}^2$ dodeljuje broj $z = f(x,y)$ — grafik je površ nad ravni $xOy$ .

6.1 Domen (oblast definisanosti)

Recept — domen

Popiši sve uslove: potkorena veličina $\ge 0$ , argument logaritma $> 0$ , imenilac $\neq 0$ , argument $\arcsin$ u $[-1,1]$ …
Reši svaki uslov i preseci ih.
Opiši skup i skiciraj ga (poluravan, krug, kvadranti…). Pazi na otvorene/zatvorene granice!

Rešeni mini-primeri (zadatak A2 sa vežbi)

a) $z = \sqrt{x+y}$ : uslov $x + y \ge 0$ ⇒ $D = \{(x,y): y \ge -x\}$ — zatvorena poluravan iznad prave $y = -x$ .

b) $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ : ⇒ $D = \{x^2 + y^2 \le 4\}$ — zatvoren disk poluprečnika 2.

v) $z = \sqrt{\frac32 - \sin(\ln(xy))}$ : trik — $\sin(\cdot) \in [-1,1]$ pa je potkoreni izraz uvek $\ge \frac12 > 0$ ; ostaje samo $xy > 0$ ⇒ $D$ : 1. i 3. kvadrant (otvoreni)

g) $u = \ln(a^2 - x^2 - y^2 - z^2)$ : ⇒ $D = \{x^2+y^2+z^2 < a^2\}$ — unutrašnjost sfere (bez granice).

6.2 Granične vrednosti

$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = b$ znači: vrednosti $f$ se približavaju $b$ po svim putanjama prilaska tački. Ključno: ako limes postoji, jedinstven je — ne zavisi od putanje.

Recept — kako dokazati da limes NE postoji

Nađi dve putanje kroz tačku duž kojih se dobijaju različite vrednosti:

Probaj prave $y = kx$ (najčešće $y = x$ i $y = 2x$ ) — uvrsti i pusti $x \to 0$ .
Ako sve prave daju isto, probaj krive: $y = x^2$ , $y = x^3$ … (vidi zadatak A11!)
Dve različite vrednosti ⇒ limes ne postoji. ∎

Recept — kako dokazati da limes POSTOJI

Smena: ako je izraz funkcija jedne kombinacije (npr. $t = xy$ ): $\lim\frac{\sin xy}{xy} = \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t} = 1$ .
Polarne koordinate: $x = \rho\cos\varphi$ , $y = \rho\sin\varphi$ , $x^2+y^2 = \rho^2$ ; ako rezultat ne zavisi od $\varphi$ , čitaj limes iz $\rho \to 0$ (ili $\rho\to\infty$ ).
Ocena + uklještenje: $0 \le |f(x,y)| \le g(y) \to 0$ ⇒ limes je $0$ .

Rešen primer (zadatak A4 sa vežbi — nepostojanje)

Postavka: pokazati da ne postoji $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

Duž $y = x$ : $\;\lim_{x\to0}\frac{x^2-x^2}{2x^2} = 0$ . Duž $y = 2x$ : $\;\lim_{x\to0}\frac{x^2-4x^2}{5x^2} = -\frac35$ .

Različite vrednosti ( $0 \neq -\frac35$ ) ⇒ limes ne postoji. ∎

(Isti razlomak ima i različite ponovljene limese: $\lim_{y\to0}\lim_{x\to0} = -1$ , a $\lim_{x\to0}\lim_{y\to0} = 1$ — zadatak A3.)

6.3 Neprekidnost

$f$ je neprekidna u $(x_0,y_0)$ ako je $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)$ . Kod deo-po-deo funkcija proveri prilaz iz svake oblasti i uporedi sa vrednošću funkcije.

Rešen primer (zadatak A8 sa vežbi — ocena i uklještenje)

Postavka: $f(x,y) = \frac{x^2y - y^3}{x^2+y^2}$ za $(x,y)\neq(0,0)$ , $f(0,0) = 0$ — neprekidnost u $(0,0)$ ?

Ocena (trik: izvuci $y$ ):

$0 \le |f(x,y)| = \left|\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right||y| = \underbrace{\left|1 - \frac{2y^2}{x^2+y^2}\right|}_{\le\,1}|y| \le |y| \xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{} 0$

Po uklještenju $\lim f = 0 = f(0,0)$ ⇒ neprekidna u $(0,0)$ . ∎

Pazi — kontraprimer koji se pita za teoriju

Funkcija $f = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$ (A11) je neprekidna u $(0,0)$ duž svake prave $y = kx$ i duž $y$ -ose (svi limesi su 0), ali duž parabole $y = x^2$ limes je $\frac12 \neq 0$ — dakle nije neprekidna. Pouka: prave nisu dovoljne, putanja može biti kriva!

6.4 Parcijalni izvodi

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

Praktično: izvodiš po jednoj promenljivoj, ostale tretiraš kao konstante. U „problematičnim” tačkama (deo-po-deo definicija, tačka $(0,0)$ ) — računaj po definiciji preko limesa.

Viši izvodi: $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\big(\frac{\partial f}{\partial y}\big)$ itd. Za glatke funkcije mešoviti izvodi su jednaki ( $z_{xy} = z_{yx}$ ) — dobra kontrola računa!

Rešen primer (zadatak B3 sa vežbi — izvodi trećeg reda)

Postavka: $z = x^3y^2$ ; naći izvode trećeg reda.

Prvi red: $z_x = 3x^2y^2$ , $z_y = 2x^3y$ . Drugi red: $z_{xx} = 6xy^2$ , $z_{yy} = 2x^3$ , $z_{xy} = z_{yx} = 6x^2y$ ✓ (jednaki!)

Treći red: $z_{xxx} = 6y^2$ , $\;z_{yyy} = 0$ , $\;\frac{\partial^3z}{\partial x\partial y^2} = 6x^2$ , $\;\frac{\partial^3z}{\partial y\partial x^2} = 12xy$

6.5 Diferencijabilnost

$f$ je diferencijabilna u tački ako se totalni priraštaj može napisati kao $\Delta f = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$ . Hijerarhija:

$\text{DIFERENCIJABILNOST} \Rightarrow \text{NEPREKIDNOST}, \qquad \text{DIFERENCIJABILNOST} \Rightarrow \text{POSTOJANJE PARC. IZVODA}$

Kontrapozicija: nije neprekidna ⇒ nije diferencijabilna; nema parcijalne izvode ⇒ nije diferencijabilna. Obrat ne važi (B7: neprekidna + ima izvode, a nije diferencijabilna!).

Recept — ispitivanje diferencijabilnosti u tački (3 koraka)

Neprekidnost u tački — ako padne, kraj: nije diferencijabilna.
Parcijalni izvodi po definiciji u tački — ako ne postoje, kraj: nije diferencijabilna.
Limes iz Teoreme 1: $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{f(x_0{+}\Delta x, y_0{+}\Delta y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)\Delta x - f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$ Ako je $= 0$ ⇒ diferencijabilna; ako nije 0 ili zavisi od putanje (probaj $\Delta y = \Delta x$ !) ⇒ nije.

Rešen primer (zadatak B7 sa vežbi — negativan slučaj)

Postavka: $f(x,y) = \sqrt[3]{x^3+y^3}$ u $(0,0)$ .

Neprekidna (kompozicija elementarnih). ✓
Po definiciji: $f_x(0,0) = \lim\frac{\sqrt[3]{\Delta x^3}}{\Delta x} = 1$ ; slično $f_y(0,0) = 1$ . ✓
Limes: $\displaystyle\lim\frac{\sqrt[3]{\Delta x^3+\Delta y^3} - \Delta x - \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$ ; duž $\Delta y = \Delta x$ :

$\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt[3]{2}\,\Delta x - 2\Delta x}{|\Delta x|\sqrt2} = \frac{\sqrt[3]{2}-2}{\pm\sqrt2} \neq 0$

⇒ nije diferencijabilna u $(0,0)$ , iako je neprekidna i ima oba parcijalna izvoda!

6.6 Svi zadaci sa 6. vežbi — vežbaj sam

A1. Dokazati da $f(x,y) = \ln x\ln y$ zadovoljava $f(xy, uv) = f(x,u) + f(x,v) + f(y,u) + f(y,v)$ .

Prikaži rešenje

$f(xy,uv) = \ln(xy)\ln(uv) = (\ln x + \ln y)(\ln u + \ln v)$ — razviti proizvod, dobiju se tačno četiri tražena sabirka. ∎

A2. Domeni: a) $\sqrt{x+y}$ b) $\sqrt{4-x^2-y^2}$ v) $\sqrt{\frac32 - \sin(\ln(xy))}$ g) $\ln(a^2-x^2-y^2-z^2)$ — rešeni gore kao primeri.

A3. Ponovljeni limesi $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ u $(0,0)$ .

Prikaži rešenje

a) $\lim\limits_{y\to0}\Big(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\Big)$ : unutrašnji limes — $y$ je fiksirana konstanta, $x\to0$ :

$\lim_{x\to0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{0-y^2}{0+y^2} = -1 \;\Longrightarrow\; \lim_{y\to0}(-1) = -1$

b) Obrnuti redosled: unutrašnji po $y$ ( $x$ fiksirano): $\frac{x^2-0}{x^2+0} = 1$ , pa spoljašnji daje $1$ .

a) $-1$ ; b) $1$ — ponovljeni limesi različiti ⇒ dvostruki limes u $(0,0)$ ne može postojati (koristi se u A4).

A4. Ne postoji $\lim_{(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ — rešen gore kao primer ( $0$ vs $-\frac35$ ).

A5. $\lim_{(0,0)}\frac{\sin xy}{xy}$

Prikaži rešenje

Smena $t = xy \to 0$ : $_{t} = $ $1$

A6. $\lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)}\frac{x+y}{x^2+y^2}$

Prikaži rešenje

Polarne: $\frac{\rho(\cos\varphi+\sin\varphi)}{\rho^2} = \frac{\cos\varphi+\sin\varphi}{\rho}$ ; brojilac ograničen, $\rho\to\infty$ ⇒ $0$ (ugao ne utiče)

A7. Pokazati da ne postoji $\lim_{(0,0)}\frac{x^2+y^2-2x+y}{x+y}$

Prikaži rešenje

Duž prave $y = x$ (uvrsti $y = x$ , pusti $x\to0$ ):

$\lim_{x\to0}\frac{x^2+x^2-2x+x}{x+x} = \lim_{x\to0}\frac{2x^2-x}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{2x-1}{2} = -\frac12$

Duž prave $y = 2x$ :

$\lim_{x\to0}\frac{x^2+4x^2-2x+2x}{3x} = \lim_{x\to0}\frac{5x^2}{3x} = \lim_{x\to0}\frac{5x}{3} = 0$

Dve putanje, dve različite vrednosti ( $-\frac12 \neq 0$ ) ⇒ limes ne postoji ∎

A8. Neprekidnost $\frac{x^2y-y^3}{x^2+y^2}$ (sa $f(0,0)=0$ ) u $(0,0)$ — rešen gore kao primer (neprekidna, ocena $|f|\le|y|$ ).

A9. $f = 4-x^2-y^2$ za $x^2+y^2\le4$ , inače $0$ — neprekidnost na kružnici $x^2+y^2=4$ ?

Prikaži rešenje

Za $M(x_0,y_0)$ na kružnici: $f(x_0,y_0) = 4-4 = 0$ . Limes iznutra: $4-x_0^2-y_0^2 = 0$ ; spolja: $0$ . Sve tri vrednosti jednake ⇒ neprekidna na celoj kružnici.

A10. $f = \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}$ (sa $f(0,0)=0$ ) — neprekidnost u $(0,0)$ ?

Prikaži rešenje

Duž $y=x$ : $\lim\frac{x^4}{2x^4} = \frac12 \neq 0 = f(0,0)$ ⇒ prekid u $(0,0)$ (limes ni ne postoji: duž $y=2x$ dobija se $\frac{4}{17}$ ).

A11. $f = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$ — neprekidna duž svih pravih, ali nije neprekidna u $(0,0)$ — rešen gore (kutija „Pazi”): duž $y=kx$ limes $0$ , duž $y=x^2$ limes $\frac12$ .

B1. $f(x,y) = x + (y-1)\arcsin\sqrt{\frac{x}{y}}$ ; naći $\frac{\partial f}{\partial x}(x,1)$ .

Prikaži rešenje

Po definiciji, duž $y=1$ drugi sabirak otpada ( $(1-1) = 0$ ): $ = $ $1$ — bez ikakvog izvođenja $\arcsin$ !

B2. Prvi parcijalni izvodi: a) $f = 2x^2y^3 + x - 7y$ b) $f = x\sin(xyz) + xy^2z^3 - 11$

Prikaži rešenje

a) $f_x = 4xy^3 + 1$ ; $f_y = 6x^2y^2 - 7$ . b) $f_x = \sin(xyz) + xyz\cos(xyz) + y^2z^3$ (pravilo proizvoda!); $f_y = x^2z\cos(xyz) + 2xyz^3$ ; $f_z = x^2y\cos(xyz) + 3xy^2z^2$ .

B3. Izvodi trećeg reda za $z = x^3y^2$ — rešen gore kao primer.

B4. $z = \cos^2(x+y) - \cos^2x - \cos^2y$ u $M(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$

Prikaži rešenje

$z_x = -2\cos(x+y)\sin(x+y) + 2\sin x\cos x$ ; u $M$ : $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ , pa $z_x(M) = 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = 1$ . Simetrijom $z_y(M) = 1$ .

$z_x(M) = z_y(M) = 1$

B5. $u = \frac{x-y}{x-z}$ u $M(2,1,0)$

Prikaži rešenje

$u_x = \frac{y-z}{(x-z)^2}$ , $u_y = \frac{-1}{x-z}$ , $u_z = \frac{x-y}{(x-z)^2}$ . U $M$ : $u_x = \frac14$ , $u_y = -\frac12$ , $u_z = \frac14$

B6. Diferencijabilnost $f = e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}$ (sa $f(0,0)=0$ ) u $(0,0)$ ?

Prikaži rešenje

Neprekidna: eksponent $\to-\infty$ pa $f \to 0$ . 2) $f_x(0,0) = \lim\frac{e^{-1/\Delta x^2}}{\Delta x} = 0 = f_y(0,0)$ (eksponencijala ubija svaki stepen). 3) Limes: $\lim\frac{e^{-1/\rho^2}}{\rho} = 0$ (smena $\rho = \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ ).

⇒ diferencijabilna u $(0,0)$ ✓

B7. $f = \sqrt[3]{x^3+y^3}$ u $(0,0)$ — rešen gore kao primer (nije diferencijabilna).

B9. $f = \sqrt[3]{x^2+y^2}$ u $(0,0)$ ?

Prikaži rešenje

$f_x(0,0) = \lim\frac{\Delta x^{2/3}}{\Delta x} = \lim\frac{1}{\Delta x^{1/3}} = \pm\infty$ — parcijalni izvodi ne postoje ⇒ po kontrapoziciji nije diferencijabilna.

6.7 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. Odrediti domen $z = \ln(y - x^2)$

Prikaži rešenje

Argument logaritma $> 0$ : $\;y - x^2 > 0$ , tj. $y > x^2$ (↗ logaritmi).

$D = \{(x,y): y > x^2\}$ — otvorena oblast iznad parabole $y = x^2$ (bez parabole)

Dodatni 2. Izračunati $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$

Prikaži rešenje

Polarne koordinate ( $x = \rho\cos\varphi$ , $y = \rho\sin\varphi$ , $x^2+y^2 = \rho^2$ ):

$\frac{\rho^3(\cos^3\varphi + \sin^3\varphi)}{\rho^2} = \rho\,(\cos^3\varphi+\sin^3\varphi)$

Faktor u zagradi je ograničen ( $|{\cdot}| \le 2$ ), a $\rho\to0$ ⇒ limes je $0$ (ugao ne utiče).

Dodatni 3. Pokazati da ne postoji $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$

Prikaži rešenje

Duž $y = kx$ : $\;\dfrac{kx^2}{x^2(1+k^2)} = \dfrac{k}{1+k^2}$ — zavisi od $k$ (npr. $k=1$ daje $\frac12$ , $k=0$ daje $0$ ).

Limes ne postoji (vrednost duž prave zavisi od nagiba). ∎

Dodatni 4. Naći prve parcijalne izvode $z = \arctan\dfrac{y}{x}$ · ↗ tablica izvoda

Prikaži rešenje

Lančano pravilo sa $(\arctan t)' = \frac{1}{1+t^2}$ , $t = \frac yx$ :

$z_x = \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\Big({-\frac{y}{x^2}}\Big) = -\frac{y}{x^2+y^2}, \qquad z_y = \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\frac1x = \frac{x}{x^2+y^2}$

$z_x = -\dfrac{y}{x^2+y^2}$ , $\quad z_y = \dfrac{x}{x^2+y^2}$

(Ovo su tačno $P$ i $Q$ iz zadatka 8 na 10. vežbama!)

Dodatni 5. Naći prve parcijalne izvode $z = x^y$ ( $x > 0$ )

Prikaži rešenje

Po $x$ : $y$ je konstanta → stepena funkcija: $z_x = yx^{y-1}$ . Po $y$ : $x$ je konstanta → eksponencijalna ( $x^y = e^{y\ln x}$ ): $z_y = x^y\ln x$ .

$z_x = yx^{y-1}$ , $\quad z_y = x^y\ln x$

Dodatni 6. Ispitati diferencijabilnost $f(x,y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (uz $f(0,0) = 0$ ) u $(0,0)$

Prikaži rešenje

1) Neprekidnost: $|f| = \frac{|x||y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \sqrt{x^2+y^2} \to 0$ ✓

2) Parcijalni izvodi po definiciji: $f(\Delta x, 0) = 0$ , pa $f_x(0,0) = \lim\frac{0-0}{\Delta x} = 0$ ; slično $f_y(0,0) = 0$ ✓

3) Limes iz teoreme:

$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} - 0 - 0 - 0}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} = \lim\frac{\Delta x\,\Delta y}{\Delta x^2+\Delta y^2}$

Duž $\Delta y = \Delta x$ : $\frac{\Delta x^2}{2\Delta x^2} = \frac12 \neq 0$ ⇒ limes nije 0.

$f$ nije diferencijabilna u $(0,0)$ (iako je neprekidna i ima oba parcijalna izvoda — isti fenomen kao B7)

7. Lokalni i uslovni ekstremumi

7.1 Lokalni ekstremumi — dve promenljive

Potreban uslov: u tački ekstremuma svi parcijalni izvodi su nula — takva tačka je stacionarna. Ali stacionarna tačka ne mora biti ekstremum (može biti „sedlo”)!

Recept — lokalni ekstremumi f(x, y)

Reši sistem $\;f_x = 0,\; f_y = 0\;$ → stacionarne tačke $M_i$ .
Izračunaj druge izvode i u svakoj tački: $\;A = f_{xx}(M)$ , $\;B = f_{xy}(M)$ , $\;C = f_{yy}(M)$ .
Znak AC−B2AC - B^2:
- $AC - B^2 > 0$ i $A > 0$ ⇒ lokalni minimum
- $AC - B^2 > 0$ i $A < 0$ ⇒ lokalni maksimum
- $AC - B^2 < 0$ ⇒ nema ekstremuma (sedlo)
Izračunaj $f(M)$ za tačke ekstremuma.

Rešen primer (zadatak 1a sa vežbi — 9 stacionarnih tačaka)

Postavka: $f(x,y) = 2x^4 - x^2 - 2y^2 + y^4$

$f_x = 8x^3 - 2x = 2x(4x^2-1) = 0 \Rightarrow x \in \{0, \pm\tfrac12\}; \qquad f_y = 4y^3 - 4y = 4y(y^2-1) = 0 \Rightarrow y \in \{0, \pm1\}$

Devet stacionarnih tačaka (sve kombinacije). Drugi izvodi: $f_{xx} = 24x^2 - 2$ , $f_{xy} = 0$ , $f_{yy} = 12y^2 - 4$ .

$M_1(0,0)$ : $A = -2$ , $B = 0$ , $C = -4$ : $AC - B^2 = 8 > 0$ , $A < 0$ ⇒ lok. maksimum, $f = 0$
$M_2(0,1)$ , $M_3(0,-1)$ : $A = -2$ , $C = 8$ : $AC - B^2 = -16 < 0$ ⇒ sedlo
$M_4(\frac12, 0)$ : $A = 4$ , $C = -4$ : $-16 < 0$ ⇒ sedlo
$M_5(\frac12, 1)$ : $A = 4$ , $C = 8$ : $32 > 0$ , $A > 0$ ⇒ lok. minimum, $f = -\frac98$

Preostale 4 tačke po simetriji ( $f$ zavisi od $x^2, y^2$ ): $M_6(\frac12,-1)$ , $M_8(-\frac12,1)$ , $M_9(-\frac12,-1)$ — minimumi sa $f = -\frac98$ ; $M_7(-\frac12,0)$ — sedlo.

7.2 Tri promenljive — Silvesterov kriterijum

Za $u(x,y,z)$ : stacionarna tačka iz $u_x = u_y = u_z = 0$ ; klasifikacija preko glavnih minora Hesijana (matrice drugih izvoda):

$D_1 = u_{xx}, \qquad D_2 = \begin{vmatrix}u_{xx} & u_{xy}\\ u_{xy} & u_{yy}\end{vmatrix}, \qquad D_3 = \det\begin{bmatrix}u_{xx} & u_{xy} & u_{xz}\\ u_{xy} & u_{yy} & u_{yz}\\ u_{xz} & u_{yz} & u_{zz}\end{bmatrix}$

svi $D_1, D_2, D_3 > 0$ ⇒ lokalni minimum
naizmenično $D_1 < 0$ , $D_2 > 0$ , $D_3 < 0$ ⇒ lokalni maksimum

Rešen primer (zadatak 3b sa vežbi)

Postavka: $u = 2x^2 + \dfrac{y^2}{x} - 4z + \dfrac{z^2}{y}$

Sistem: $u_z = -4 + \frac{2z}{y} = 0 \Rightarrow \frac{z}{y} = 2$ ; $\;u_y = \frac{2y}{x} - \big(\frac{z}{y}\big)^2 = 0 \Rightarrow \frac{y}{x} = 2$ ; $\;u_x = 4x - \big(\frac{y}{x}\big)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ .

Dakle $M(1, 2, 4)$ . Drugi izvodi u $M$ : $u_{xx} = 4 + \frac{2y^2}{x^3} = 12$ , $u_{xy} = -\frac{2y}{x^2} = -4$ , $u_{yy} = \frac2x + \frac{2z^2}{y^3} = 6$ , $u_{yz} = -\frac{2z}{y^2} = -2$ , $u_{zz} = \frac2y = 1$ , $u_{xz} = 0$ .

$D_1 = 12 > 0, \qquad D_2 = \begin{vmatrix}12 & -4\\ -4 & 6\end{vmatrix} = 56 > 0, \qquad D_3 = 12(6-4) + 4(-4) = 8 > 0$

Svi pozitivni ⇒ lokalni minimum u $M(1,2,4)$

7.3 Uslovni ekstremumi — Lagranžovi množioci

Traži se ekstremum $f$ uz uslov $g(x,y) = 0$ (tačka mora ležati na krivoj/površi).

Recept — Lagranžov metod

Formiraj Lagranžovu funkciju: $\;F = f + \lambda g\;$ (za dve veze: $F = f + \lambda_1g_1 + \lambda_2g_2$ ).
Reši sistem: $\;F_x = 0$ , $F_y = 0$ (…), $F_{\lambda} = g = 0$ → stacionarne tačke i vrednosti $\lambda$ .
Klasifikacija znakom $d^2F$ u tački: $d^2F = F_{xx}(dx)^2 + 2F_{xy}\,dx\,dy + F_{yy}(dy)^2$
Ključni korak: diferenciraj vezu ( $g = 0 \;/d$ ) — dobiješ linearnu relaciju među $dx, dy,\ldots$ (npr. $dx = -dy$ ) i uvrsti je u $d^2F$ .
$d^2F > 0$ ⇒ uslovni minimum; $d^2F < 0$ ⇒ uslovni maksimum.

Alternativa (2. način): iz veze izrazi jednu promenljivu, uvrsti u $f$ — sведено na funkciju jedne promenljive ( $f'$ , $f''$ ).

Rešen primer (zadatak 5 sa vežbi — oba načina)

Postavka: uslovni ekstremumi $f(x,y) = xy - x + y - 1$ uz $x + y = 1$ .

1. način (Lagranž): $F = xy - x + y - 1 + \lambda(x+y-1)$ :

$F_x = y - 1 + \lambda = 0, \quad F_y = x + 1 + \lambda = 0, \quad F_{\lambda} = x + y - 1 = 0$

Rešenje: $\lambda = -\frac12$ , $M\big({-\tfrac12}, \tfrac32\big)$ . Dalje: $F_{xx} = 0$ , $F_{xy} = 1$ , $F_{yy} = 0$ , pa $d^2F = 2\,dx\,dy$ — samo po sebi menja znak!

Diferenciraj vezu: $dx + dy = 0 \Rightarrow dx = -dy$ , pa $d^2F = -2(dy)^2 < 0$ ⇒ uslovni maksimum u $M$ , $f(M) = \frac14$ .

2. način: iz veze $x = 1 - y$ : $f(y) = (1-y)y - (1-y) + y - 1 = -y^2 + 3y - 2$ ; $f'(y) = -2y + 3 = 0 \Rightarrow y = \frac32$ ; $f'' = -2 < 0$ — maksimum. Ista tačka, ista vrednost. ✓

uslovni lok. maksimum u $M\big({-\frac12},\frac32\big)$ , $f = \frac14$

7.4 Svi zadaci sa 7. vežbi — vežbaj sam

Zadatak 1. Lokalni ekstremumi: a) $f = 2x^4 - x^2 - 2y^2 + y^4$ — rešen gore. b) $f = (2x-y+1)^2 + (x-3y)^2 + 1$

Prikaži rešenje (b)

$f_x = 10x - 10y + 4 = 0$ , $f_y = -10x + 20y - 2 = 0$ ⇒ $M\big({-\frac35}, {-\frac15}\big)$ .

$A = 10$ , $B = -10$ , $C = 20$ : $AC - B^2 = 100 > 0$ , $A > 0$ ⇒ lok. minimum; obe zagrade u $M$ su nula pa

$f_{\min} = 1$ u $M\big({-\frac35}, {-\frac15}\big)$ (ujedno i globalni: $f \ge 1$ svuda)

v) $f = \frac{1}{xy} + \ln(x+y)^2$ — za vežbu (nije rađen na času)

Uputstvo

$f_x = -\frac{1}{x^2y} + \frac{2}{x+y}$ , $f_y = -\frac{1}{xy^2} + \frac{2}{x+y}$ . Iz $f_x = f_y$ sledi $x = y$ ; uvrštavanjem: $-\frac{1}{x^3} + \frac1x = 0 \Rightarrow x = \pm1$ . Stacionarne: $(1,1)$ i $(-1,-1)$ . Klasifikuj preko $AC - B^2$ .

Zadatak 2. Broj $a > 0$ rastaviti na tri pozitivna dela maksimalnog proizvoda.

Prikaži rešenje

$f(x,y) = xy(a-x-y)$ ; $f_x = y(a-2x-y) = 0$ , $f_y = x(a-x-2y) = 0$ ; kako $x,y > 0$ : $a - 2x - y = 0$ , $a - x - 2y = 0$ ⇒ $x = y = \frac{a}{3}$ .

$A = -\frac{2a}{3}$ , $B = -\frac{a}{3}$ , $C = -\frac{2a}{3}$ : $AC - B^2 = \frac{a^2}{3} > 0$ , $A < 0$ ⇒ maksimum.

delovi $\frac{a}{3} + \frac{a}{3} + \frac{a}{3}$ ; maksimalan proizvod $\frac{a^3}{27}$

Zadatak 3. Ekstremumi (tri promenljive): a) $u = x^2+y^2+z^2+2x+4y-6z$

Prikaži rešenje (a)

$u_x = 2x+2$ , $u_y = 2y+4$ , $u_z = 2z-6$ ⇒ $M(-1,-2,3)$ . Hesijan dijagonalan: $D_1 = 2, D_2 = 4, D_3 = 8$ — svi $> 0$ ⇒ minimum.

$u_{\min} = u(-1,-2,3) = -14$

b) $u = 2x^2 + \frac{y^2}{x} - 4z + \frac{z^2}{y}$ — rešen gore kao primer (min u $M(1,2,4)$ ). v) $u = x^3+y^2+z^2-6xy-2z$ — za vežbu

Uputstvo (v)

$u_x = 3x^2 - 6y = 0$ , $u_y = 2y - 6x = 0$ , $u_z = 2z - 2 = 0$ . Iz druge: $y = 3x$ ; iz prve: $3x^2 = 18x \Rightarrow x = 0$ ili $x = 6$ . Tačke $(0,0,1)$ i $(6,18,1)$ ; proveri minore ( $D_2 = 6x\cdot2 - 36$ ): u $(6,18,1)$ minimum, u $(0,0,1)$ nema ekstremuma.

Zadatak 4. Tačka $M$ u trouglu $ABC$ koja minimizuje $\overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + \overrightarrow{MC}^2$ .

Prikaži rešenje

$f(x,y) = \sum_i\big((x-x_i)^2 + (y-y_i)^2\big)$ ; $f_x = 6x - 2\sum x_i = 0$ , $f_y = 6y - 2\sum y_i = 0$ ; $A = C = 6$ , $B = 0$ ⇒ minimum.

$M = \big(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\big)$ — težište trougla

Zadatak 5. Uslovni ekstremum $f = xy - x + y - 1$ uz $x + y = 1$ — rešen gore kao primer.

Zadatak 6. Uslovni ekstremum $u = x^2+y^2+z^2$ uz $x+y-3z+7 = 0$ i $x-y+z-3 = 0$ (dve veze).

Prikaži rešenje

$F = u + \lambda_1(x+y-3z+7) + \lambda_2(x-y+z-3)$ . Iz $F_x = F_y = F_z = 0$ : $x = -\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}$ , $y = \frac{\lambda_2-\lambda_1}{2}$ , $z = \frac{3\lambda_1-\lambda_2}{2}$ . Uvrštavanje u veze: $\lambda_1 = 1$ , $\lambda_2 = -1$ ⇒ $M(0,-1,2)$ .

$d^2F = 2\big((dx)^2+(dy)^2+(dz)^2\big) > 0$ ⇒ uslovni minimum.

$u_{\min} = u(0,-1,2) = 5$

(2. način: iz veza $z = x+2$ , $y = 2x-1$ ⇒ $u(x) = 6x^2 + 5$ , min za $x=0$ — isto.)

Zadatak 7. Na elipsi $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ naći najbližu i najdalju tačku od prave $3x - y - 9 = 0$ .

Prikaži rešenje

Ciljna funkcija: „označeno” rastojanje $F_{\text{cilj}} = \frac{3x-y-9}{\sqrt{10}}$ (bez apsolutne vrednosti!), uslov elipsa. Lagranž:

$F = \frac{3x-y-9}{\sqrt{10}} + \lambda\Big(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-1\Big); \quad F_x = \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{\lambda x}{2} = 0, \quad F_y = -\frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{2\lambda y}{9} = 0$

$x = -\frac{6}{\lambda\sqrt{10}}$ , $y = \frac{9}{2\sqrt{10}\lambda}$ ; iz uslova $\lambda = \pm\frac{3}{2\sqrt2}$ ⇒ tačke $M_1\big({-\frac{4\sqrt5}{5}}, \frac{3\sqrt5}{5}\big)$ i $M_2\big(\frac{4\sqrt5}{5}, -\frac{3\sqrt5}{5}\big)$ .

$d^2F = \frac{\lambda}{2}(dx)^2 + \frac{2\lambda}{9}(dy)^2$ : za $M_1$ ( $\lambda>0$ ) minimum $F$ , za $M_2$ ( $\lambda<0$ ) maksimum $F$ . Pošto je $3x-y-9 < 0$ na eliси, stvarno rastojanje je $-F$ :

$M_1$ najdalja ( $d \approx 4{,}97$ ), $M_2$ najbliža ( $d \approx 0{,}72$ )

Zadatak 8. Od svih kvadara sa dijagonalom $D$ naći onaj najveće zapremine.

Prikaži rešenje

$V = abc$ uz $a^2+b^2+c^2 = D^2$ . $F = abc + \lambda(a^2+b^2+c^2-D^2)$ ; iz $F_a = F_b = F_c = 0$ : $\lambda = -\frac{bc}{2a} = -\frac{ac}{2b} = -\frac{ab}{2c}$ ⇒ $a = b = c = \frac{D}{\sqrt3}$ , $\lambda = -\frac{D}{2\sqrt3}$ .

$d^2F = 2\lambda\sum(da)^2 + 2c\,da\,db + 2b\,da\,dc + 2a\,db\,dc$ ; diferenciranjem veze: $da + db + dc = 0$ , kvadriranjem: $\sum da\,db = -\frac12\sum(da)^2$ ⇒ $d^2F = -\frac{2D}{\sqrt3}\sum(da)^2 < 0$ — maksimum.

KOCKA ivice $a = \frac{D}{\sqrt3}$ ; $V_{\max} = \frac{D^3\sqrt3}{9}$

7.5 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. Naći lokalne ekstremume $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$

Prikaži rešenje

Stacionarne tačke:

$f_x = 2x + y - 3 = 0, \qquad f_y = x + 2y - 6 = 0$

Iz prve $y = 3 - 2x$ ; uvrsti: $x + 6 - 4x - 6 = 0 \Rightarrow x = 0$ , $y = 3$ . Tačka $M(0,3)$ .

Klasifikacija: $A = f_{xx} = 2$ , $B = f_{xy} = 1$ , $C = f_{yy} = 2$ : $\;AC - B^2 = 3 > 0$ , $A > 0$ → minimum.

lok. minimum u $M(0,3)$ , $f_{\min} = 0 + 0 + 9 - 0 - 18 = -9$

Dodatni 2. Naći lokalne ekstremume $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$

Prikaži rešenje

$f_x = 3x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2, \qquad f_y = 3y^2 - 3x = 0 \Rightarrow x = y^2$

Uvrsti: $x = x^4 \Rightarrow x(x^3 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ ili $x = 1$ . Tačke: $M_1(0,0)$ , $M_2(1,1)$ .

Drugi izvodi: $f_{xx} = 6x$ , $f_{xy} = -3$ , $f_{yy} = 6y$ .

$M_1(0,0)$ : $A = 0$ , $B = -3$ , $C = 0$ : $AC - B^2 = -9 < 0$ → sedlo (nema ekstremuma).
$M_2(1,1)$ : $A = 6$ , $B = -3$ , $C = 6$ : $AC - B^2 = 27 > 0$ , $A > 0$ → minimum.

lok. minimum u $M_2(1,1)$ , $f = 1 + 1 - 3 = -1$ ; u $(0,0)$ sedlo

Dodatni 3. Naći uslovne ekstremume $f(x,y) = x + y$ uz uslov $x^2 + y^2 = 1$

Prikaži rešenje

$F = x + y + \lambda(x^2+y^2-1): \qquad F_x = 1 + 2\lambda x = 0, \quad F_y = 1 + 2\lambda y = 0, \quad x^2+y^2 = 1$

Iz prve dve: $x = y = -\frac{1}{2\lambda}$ ; iz uslova $2x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm\frac{\sqrt2}{2}$ .

$M_1\big(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\big)$ , $\lambda = -\frac{1}{\sqrt2}$ : $\;d^2F = 2\lambda\big((dx)^2+(dy)^2\big) < 0$ → uslovni maksimum, $f = \sqrt2$ .
$M_2\big({-\frac{\sqrt2}{2}},{-\frac{\sqrt2}{2}}\big)$ , $\lambda = \frac{1}{\sqrt2}$ : $\;d^2F > 0$ → uslovni minimum, $f = -\sqrt2$ .

max $\sqrt2$ u $M_1$ , min $-\sqrt2$ u $M_2$ (geometrijski: najviša/najniža vrednost prave $x+y = c$ koja seče kružnicu)

Dodatni 4. Od svih pravougaonika datog obima $2p$ naći onaj najveće površine

Prikaži rešenje

Maksimizuj $f = xy$ uz uslov $x + y = p$ ( $x, y > 0$ ).

Lagranž: $F = xy + \lambda(x+y-p)$ : $\;F_x = y + \lambda = 0$ , $F_y = x + \lambda = 0$ → $x = y$ ; iz uslova $x = y = \frac p2$ .

Klasifikacija: $d^2F = 2\,dx\,dy$ ; diferenciraj uslov: $dx = -dy$ → $d^2F = -2(dy)^2 < 0$ → maksimum.

kvadrat stranice $\frac{p}{2}$ ; $P_{\max} = \frac{p^2}{4}$

8. Dvojni i trojni integrali

8.1 Dvojni integral — ideja i svođenje na dva obična integrala

$\iint_D f(x,y)\,dxdy$ je zapremina ispod površi $z = f(x,y)$ nad oblašću $D$ . Specijalno: $_D dxdy = $ površina oblasti $D$ ; zapremina tela između dve površi je $\iint_D(g - f)\,dxdy$ (gornja minus donja).

Recept — postavljanje granica (projektovanje)

Skiciraj oblast $D$ ! Nađi preseke krivih koje je ograničavaju.
Projekcija na $x$ -osu: $D = \{a \le x \le b,\; \alpha(x) \le y \le \beta(x)\}$ — donja i gornja kriva: $\iint_D f\,dxdy = \int_a^b dx\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy$
Unutrašnji integral računaš prvo, tretirajući $x$ kao konstantu.
Alternativno projekcija na $y$ -osu: $c \le y \le d$ , $\gamma(y) \le x \le \delta(y)$ (leva i desna kriva). Ako oblast nije „jednodelna” u jednom smeru — podeli je (aditivnost) ili probaj drugi smer.

Rešen primer (zadatak D1 sa vežbi — oba redosleda)

Postavka: $\iint_D(3x-y)\,dxdy$ , $D$ = trougao $O(0,0)$ , $A(2,2)$ , $B(2,4)$ .

Stranice: $y = x$ , $y = 2x$ , $x = 2$ . Projekcija na $x$ -osu (jedan komad): $0 \le x \le 2$ , $x \le y \le 2x$ :

$\int_0^2 dx\int_x^{2x}(3x-y)\,dy = \int_0^2\Big(3xy - \frac{y^2}{2}\Big)\Big|_x^{2x}dx = \frac32\int_0^2 x^2\,dx = \boxed{4}$

Projekcija na $y$ -osu zahteva dva komada ( $D_1$ : $0\le y\le2$ , $\frac y2 \le x \le y$ ; $D_2$ : $2\le y\le4$ , $\frac y2 \le x \le 2$ ) — i daje isto, $4$ . Pouka: biraj smer projekcije koji daje jedan komad!

8.2 Polarne koordinate

$x = \rho\cos\varphi, \quad y = \rho\sin\varphi, \quad x^2+y^2 = \rho^2, \qquad dxdy = \rho\,d\rho\,d\varphi$

Ne zaboravi jakobijan $\rho$ ! Koristi ih kada: podintegralna funkcija sadrži $x^2+y^2$ , ili je oblast krug/prsten/kružni isečak.

Rešen primer (zadatak D7 sa vežbi — zapremina između paraboloida)

Postavka: zapremina tela između $z = 3 - x^2 - y^2$ i $z = x^2 + y^2$ .

Presek: sabiranjem jednačina: $x^2+y^2 = \frac32$ (na visini $z = \frac32$ ) ⇒ projekcija $D: x^2+y^2 \le \frac32$ .

$V = \iint_D\big[(3 - x^2 - y^2) - (x^2+y^2)\big]dxdy = \iint_D\big(3 - 2(x^2+y^2)\big)dxdy$

Polarne: $0\le\varphi\le2\pi$ , $0\le\rho\le\sqrt{3/2}$ :

$V = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\sqrt{3/2}}(3-2\rho^2)\,\rho\,d\rho = 2\pi\Big(\frac32\rho^2 - \frac{\rho^4}{2}\Big)\Big|_0^{\sqrt{3/2}} = 2\pi\Big(\frac94 - \frac98\Big) = \boxed{\frac{9\pi}{4}}$

8.3 Trojni integral

$\iiint_T f\,dxdydz = \iint_D\Big(\int_{g(x,y)}^{h(x,y)} f\,dz\Big)dxdy$

— prvo po $z$ (od donje do gornje površi), pa dvojni po projekciji $D$ tela na ravan $Oxy$ . Primene: $_T dxdydz = $ zapremina; sa gustinom $\rho(x,y,z)$ — masa.

Smene koordinata:

Smena	Formule	Jakobijan	Kada
cilindrične	$x = \rho\cos\varphi$ , $y = \rho\sin\varphi$ , $z = z$	$\rho$	tela sa osnom simetrijom oko $Oz$ : cilindri, konusi, paraboloidi ( $x^2+y^2$ u granicama)
sferne	$x = \rho\cos\varphi\sin\theta$ , $y = \rho\sin\varphi\sin\theta$ , $z = \rho\cos\theta$	$\rho^2\sin\theta$	sfere i lopte ( $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$ ); $\theta\in[0,\pi]$ od $+z$ ose

Rešen primer (zadatak T3 sa vežbi — cilindrične)

Postavka: $\iiint_V\sqrt{x^2+y^2}\,dxdydz$ , $V$ između konusa $z^2 = x^2+y^2$ i ravni $z = 1$ .

Telo „levak”: za fiksirano $(x,y)$ u disku $x^2+y^2\le1$ : konus ispod, ravan iznad. U cilindričnim: $\rho \le z \le 1$ , $0\le\rho\le1$ , $0\le\varphi\le2\pi$ . Podintegralna $\sqrt{x^2+y^2} = \rho$ , sa jakobijanom ukupno $\rho^2$ :

$\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^1\rho^2d\rho\int_{\rho}^1 dz = 2\pi\int_0^1\rho^2(1-\rho)\,d\rho = 2\pi\Big(\frac13 - \frac14\Big) = \boxed{\frac{\pi}{6}}$

Rešen primer (zadatak T5 sa vežbi — sferne, pomerena sfera)

Postavka: $\iiint_V\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,dxdydz$ , $V$ : lopta $x^2+y^2+z^2 \le z$ .

Dopuna do kvadrata: $x^2+y^2+(z-\frac12)^2 \le \frac14$ — lopta centra $(0,0,\frac12)$ , poluprečnika $\frac12$ (prolazi kroz koordinatni početak!).

U sfernim: uslov $\rho^2 \le \rho\cos\theta$ daje $0 \le \rho \le \cos\theta$ , pa $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ , $0\le\varphi\le2\pi$ :

$I = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\int_0^{\cos\theta}\rho\cdot\rho^2\,d\rho = 2\pi\cdot\frac14\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\sin\theta\,d\theta \overset{t=\cos\theta}{=} \frac{\pi}{2}\int_0^1t^4dt = \boxed{\frac{\pi}{10}}$

Zapamti trik: sfera kroz $O$ sa centrom na $z$ -osi u sfernim postaje $\rho = \cos\theta$ .

Pazi — najčešće greške kod integrala

Zaboravljen jakobijan: $\rho$ (polarne/cilindrične), $\rho^2\sin\theta$ (sferne).
Granice preseka: presek površi traži se algebarski (saberi/oduzmi jednačine), pa projektuj.
Kod $\sqrt{\ldots^2}$ obavezno apsolutna vrednost — vidi T2 i zadatak 3 devete vežbe.
Parnost štedi vreme: integral neparne funkcije u simetričnim granicama je $0$ .

8.4 Svi zadaci sa 8. vežbi — vežbaj sam

D1. $\iint_D(3x-y)\,dxdy$ , trougao $O(0,0)$ , $A(2,2)$ , $B(2,4)$ — rešen gore. $4$

D2. $\iint_D x^2y^{-2}dxdy$ ; $D$ ograničena sa $x=2$ , $y=x$ , $y=\frac1x$

Prikaži rešenje

Presek $y=x$ i $y=\frac1x$ : $x=1$ . $D$ : $1\le x\le2$ , $\frac1x\le y\le x$ :

$\int_1^2x^2\Big({-\frac1y}\Big)\Big|_{1/x}^{x}dx = \int_1^2(x^3 - x)\,dx = \frac{15}{4} - \frac32$

$\frac94$

D3. $\iint_D(x+y)\,dxdy$ ; $D$ između $y = 4-x^2$ i $y = 2-x$

Prikaži rešenje

Presek: $2-x = 4-x^2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow x=-1, 2$ . $D$ : $-1\le x\le2$ , $2-x\le y\le 4-x^2$ :

$\int_{-1}^2\Big(xy+\frac{y^2}{2}\Big)\Big|_{2-x}^{4-x^2}dx = \int_{-1}^2\Big(6+4x-\frac72x^2-x^3+\frac12x^4\Big)dx$

$\frac{261}{20}$

D4. $\iint_D\frac{x^2}{x^2+y^2}dxdy$ ; $D$ : $0\le x\le a$ , $0\le y\le x$

Prikaži rešenje

Podeli sa $x^2$ : $\frac{1}{1+(y/x)^2}$ ; smena $t = \frac yx$ u unutrašnjem: $\int_0^x\frac{dy}{1+(y/x)^2} = x\arctan t\big|_0^1 = \frac{\pi x}{4}$ :

$\int_0^a\frac{\pi}{4}x\,dx = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{a^2}{2}$

$\frac{\pi a^2}{8}$

D5. $\iint_D x^2y^2dxdy$ ; $D$ : prsten $1\le x^2+y^2\le4$

Prikaži rešenje

Polarne: $1\le\rho\le2$ , $0\le\varphi<2\pi$ ; $x^2y^2 = \rho^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = \frac{\rho^4}{4}\sin^22\varphi$ :

$\int_0^{2\pi}\frac{\sin^22\varphi}{4}d\varphi\int_1^2\rho^5d\rho = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{63}{6} \qquad\Big(\int_0^{2\pi}\sin^22\varphi\,d\varphi = \pi\Big)$

$\frac{21\pi}{8}$

D6. $\iint_D\frac{dxdy}{(x^2+y^2)(1+\sqrt[4]{x^2+y^2})}$ ; $D$ : $x^2-y^2\le0$ , $1\le x^2+y^2\le4$

Prikaži rešenje

Uslov $x^2 - y^2 \le 0 \Leftrightarrow \cos2\varphi \le 0$ : dva sektora $\varphi\in[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$ i $[\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}]$ (ukupan ugao $\pi$ ); $1\le\rho\le2$ . Integrand ne zavisi od $\varphi$ :

$I = \pi\int_1^2\frac{d\rho}{\rho(1+\sqrt\rho)} \overset{u=\sqrt\rho}{=} 2\pi\int_1^{\sqrt2}\frac{du}{u(1+u)} = 2\pi\big(\ln u - \ln(u+1)\big)\Big|_1^{\sqrt2}$

$2\pi\ln\dfrac{2\sqrt2}{1+\sqrt2}$

D7. Zapremina tela između $z = 3-x^2-y^2$ i $z = x^2+y^2$ — rešen gore. $\frac{9\pi}{4}$

T1. $\iiint_V(1-x)yz\,dxdydz$ ; $V$ : tetraedar $x,y,z\ge0$ , $x+y+z\le1$

Prikaži rešenje

$V$ : $0\le x\le1$ , $0\le y\le1-x$ , $0\le z\le1-x-y$ :

$I = \frac12\int_0^1(1-x)dx\int_0^{1-x}y(1-x-y)^2dy = \frac{1}{24}\int_0^1(1-x)^5dx$

$\frac{1}{144}$

T2. $\iiint_V|x|\,dxdydz$ ; $V$ ograničeno sa $x^2+y^2=1$ (cilindar), $z = x^2+y^2$ (paraboloid), $z=0$

Prikaži rešenje

$V$ : disk $x^2+y^2\le1$ , $0\le z\le x^2+y^2$ . Po $z$ pa po $y$ (simetrične granice, parna funkcija):

$I = 4\int_0^1x\Big(x^2\sqrt{1-x^2}+\frac{(1-x^2)^{3/2}}{3}\Big)dx \overset{t=\sqrt{1-x^2}}{=} 4\int_0^1\Big(t^2-\frac23t^4\Big)dt$

$\frac45$

T3. $\iiint_V\sqrt{x^2+y^2}\,dxdydz$ ; konus $z^2 = x^2+y^2$ i $z=1$ — rešen gore. $\frac{\pi}{6}$

T4. Zapremina tela: $z = 6-x^2-y^2$ (paraboloid) i $z^2 = x^2+y^2$ , $z\ge0$ (konus)

Prikaži rešenje

Presek: $z = 6 - z^2 \Rightarrow z = 2$ (odbaci $-3$ ) ⇒ $x^2+y^2\le4$ . Cilindrične: $\rho\le z\le 6-\rho^2$ , $0\le\rho\le2$ :

$V = 2\pi\int_0^2\rho(6-\rho^2-\rho)\,d\rho = 2\pi\Big(12 - 4 - \frac83\Big)$

$\frac{32\pi}{3}$

T5. $\iiint_V\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,dxdydz$ ; $V$ : $x^2+y^2+z^2\le z$ — rešen gore. $\frac{\pi}{10}$

8.5 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. $\displaystyle\iint_D xy\,dxdy$ ; $D = [0,1]\times[0,2]$ (pravougaonik)

Prikaži rešenje

Pravougaonik = konstantne granice; integrand se razdvaja na proizvod:

$\int_0^1x\,dx\int_0^2y\,dy = \frac{x^2}{2}\Big|_0^1\cdot\frac{y^2}{2}\Big|_0^2 = \frac12\cdot2 = \text{$1$}$

Dodatni 2. $\displaystyle\iint_D e^{x^2}dxdy$ ; $D$ : trougao $0 \le y \le x \le 1$ · trik: redosled integracije!

Prikaži rešenje

$\int e^{x^2}dx$ nema elementarnu primitivu — po $x$ prvo ne može. Zato integrali prvo po $y$ :

$\iint_D e^{x^2}dxdy = \int_0^1 dx\int_0^x e^{x^2}dy = \int_0^1 e^{x^2}\cdot x\,dx \overset{t=x^2}{=} \frac12\int_0^1e^tdt = \text{$\dfrac{e-1}{2}$}$

Pouka: kad jedan redosled „ne ide”, obrni redosled integracije (preopiši oblast).

Dodatni 3. $\displaystyle\iint_D(x^2+y^2)\,dxdy$ ; $D$ : krug $x^2+y^2 \le R^2$

Prikaži rešenje

Polarne ( $x^2+y^2 = \rho^2$ , jakobijan $\rho$ , ↗ jakobijani):

$\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^R\rho^2\cdot\rho\,d\rho = 2\pi\cdot\frac{R^4}{4} = \text{$\dfrac{\pi R^4}{2}$}$

Dodatni 4. Izračunati zapreminu tela ispod paraboloida $z = 4 - x^2 - y^2$ , iznad ravni $z = 0$

Prikaži rešenje

Presek sa $z = 0$ : $x^2+y^2 = 4$ → projekcija je disk poluprečnika 2:

$V = \iint_{x^2+y^2\le4}(4 - x^2 - y^2)\,dxdy = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^2(4-\rho^2)\rho\,d\rho = 2\pi\Big(2\rho^2 - \frac{\rho^4}{4}\Big)\Big|_0^2 = 2\pi(8-4)$

$V = 8\pi$

Dodatni 5. $\displaystyle\iiint_V z\,dxdydz$ ; $V$ : gornja polulopta $x^2+y^2+z^2 \le R^2$ , $z \ge 0$

Prikaži rešenje

Sferne koordinate: $z = \rho\cos\theta$ , jakobijan $\rho^2\sin\theta$ ; polulopta: $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ :

$\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\int_0^R\rho^3d\rho = 2\pi\cdot\frac12\cdot\frac{R^4}{4}$

( $\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac12\int_0^{\pi/2}\sin2\theta\,d\theta = \frac12$ , ↗ sin 2x)

$\dfrac{\pi R^4}{4}$

9. Krivolinijski i površinski integrali prve vrste

9.1 Krivolinijski integral prve vrste — $\int_{\Gamma} f\,ds$

Integral „po dužini” krive; ne zavisi od orijentacije. Specijalno $_{}ds = $ dužina krive.

Recept — svođenje na određeni integral

Parametrizuj krivu: $x = X(t)$ , $y = Y(t)$ ( $z = Z(t)$ ), $t\in[a,b]$ .
Element luka: $ds = \sqrt{(X')^2 + (Y')^2 + (Z')^2}\,dt \qquad\text{(u ravni bez } Z'\text{)}$ Ako je kriva grafik $y = g(x)$ : $\;ds = \sqrt{1 + (g')^2}\,dx$ .
Uvrsti sve u integrand i integrali po $t$ .
Kriva od više delova (npr. stranice trougla) — saberi integrale po delovima.

Standardne parametrizacije: kružnica $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ : $\;x = a + r\cos t$ , $y = b + r\sin t$ , $t\in[0,2\pi]$ .

Rešen primer (zadatak 3 sa vežbi — pomerena kružnica)

Postavka: $\oint_C\sqrt{x^2+y^2}\,ds$ , $C$ : kružnica $x^2 + y^2 = ax$ , $a > 0$ .

Dopuna do kvadrata: $(x-\frac a2)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ — centar $(\frac a2, 0)$ , poluprečnik $\frac a2$ . Parametrizacija: $x = \frac a2(1+\cos t)$ , $y = \frac a2\sin t$ ; $\;ds = \frac a2\,dt$ .

$I = \int_0^{2\pi}\sqrt{\frac{a^2}{4}\big((1+\cos t)^2 + \sin^2t\big)}\cdot\frac a2\,dt = \frac{a^2}{4}\int_0^{2\pi}\sqrt{2+2\cos t}\,dt$

Identitet poluugla: $2 + 2\cos t = 4\cos^2\frac t2$ , pa $\sqrt{\ldots} = 2\big|\cos\frac t2\big|$ — apsolutna vrednost obavezna!

$I = \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}\Big|\cos\frac t2\Big|dt \overset{\xi = t/2}{=} a^2\int_0^{\pi}|\cos\xi|\,d\xi = a^2\Big(\int_0^{\pi/2}\cos\xi\,d\xi - \int_{\pi/2}^{\pi}\cos\xi\,d\xi\Big) = \boxed{2a^2}$

9.2 Krivolinijski integral druge vrste — $\int_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy + R\,dz$

Integral vektorskog polja duž orijentisane krive (fizički: rad sile). Menja znak pri promeni smera! Za zatvorenu krivu bez naznake smera podrazumeva se pozitivan smer (suprotno kazaljci; oblast ostaje sleva).

Recept — svođenje na određeni integral

Parametrizuj krivu u zadatom smeru: od $A(t=a)$ do $B(t=b)$ .
Diferencijali: $dx = X'(t)\,dt$ , $dy = Y'(t)\,dt$ , $dz = Z'(t)\,dt$ .
Uvrsti sve: $\int_{\Gamma}P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \int_a^b\big(P\,X' + Q\,Y' + R\,Z'\big)\,dt$
Simetrične granice? Iskoristi parnost (neparni deo otpada).
Ako smer obilaska ide „unazad” po parametru — granice idu od veće ka manjoj (vidi $C_3$ u zadatku 7).

Rešen primer (zadatak 5 sa vežbi)

Postavka: $I = \int_C(x^2 - 2xy)\,dx + (y^2 - 2xy)\,dy$ , $C$ : parabola $y = x^2$ , $|x|\le1$ (sleva nadesno).

Parametrizacija $x = t$ , $y = t^2$ , $t\in[-1,1]$ ; $dx = dt$ , $dy = 2t\,dt$ :

$I = \int_{-1}^1\big(t^2 - 2t^3 + 2t^5 - 4t^4\big)dt = \underbrace{\int_{-1}^1(t^2 - 4t^4)dt}_{\text{parni deo}} + \underbrace{\int_{-1}^1(2t^5 - 2t^3)dt}_{=\,0\ \text{(neparno)}} = 2\Big(\frac13 - \frac45\Big) = \boxed{-\frac{14}{15}}$

9.3 Površinski integral prve vrste — $\iint_S f\,dS$

Integral „po površini”; $_S dS = $ površina površi.

Recept — svođenje na dvojni integral

Izrazi površ eksplicitno: $z = Z(x,y)$ nad projekcijom $\Omega_{xy}$ .
Element površi: $dS = \sqrt{1 + \Big(\frac{\partial Z}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial Z}{\partial y}\Big)^2}\;dxdy$
Uvrsti $z = Z(x,y)$ u integrand i integrali po $\Omega_{xy}$ (često polarne!).
Površ od više delova (granica tetraedra…) — saberi po delovima. Može se projektovati i na $Oyz$ ili $Oxz$ ravan (analogne formule sa $x = X(y,z)$ odn. $y = Y(x,z)$ ).

Za sferu $x^2+y^2+z^2 = a^2$ , $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ : $\;dS = \dfrac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\,dxdy$ — nauči napamet, stalno treba!

Rešen primer (zadatak P1 sa vežbi)

Postavka: $\iint_S(x+y+z)\,dS$ , $S$ : polusfera $x^2+y^2+z^2 = a^2$ , $z \ge 0$ .

$z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ , $dS = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy$ , projekcija: disk $x^2+y^2\le a^2$ . U polarnim:

$I = a\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^a\Big(\frac{\rho(\cos\varphi+\sin\varphi)}{\sqrt{a^2-\rho^2}} + 1\Big)\rho\,d\rho$

Prvi sabirak otpada jer $\int_0^{2\pi}(\cos\varphi + \sin\varphi)\,d\varphi = 0$ — ne moraš računati težak integral! Ostaje:

$I = a\cdot2\pi\cdot\frac{a^2}{2} = \boxed{a^3\pi}$

9.4 Svi zadaci sa 9. vežbi — vežbaj sam

Zadatak 1. $\int_C\frac{x}{y}ds$ ; $C$ : luk parabole $y^2 = 4x$ od $A(3, 2\sqrt3)$ do $B(8, 4\sqrt2)$

Prikaži rešenje

$y = 2\sqrt x$ , $y' = \frac{1}{\sqrt x}$ , $ds = \sqrt{1+\frac1x}\,dx$ , $x\in[3,8]$ :

$I = \int_3^8\frac{x}{2\sqrt x}\cdot\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt x}dx = \frac12\int_3^8\sqrt{x+1}\,dx \overset{t=x+1}{=} \frac13 t^{3/2}\Big|_4^9 = \frac13(27-8)$

$\frac{19}{3}$

Zadatak 2. $\int_C(x+y)\,ds$ ; $C$ : granica trougla $O(0,0)$ , $A(1,0)$ , $B(0,1)$

Prikaži rešenje

Tri stranice: $OA$ ( $y=0$ , $ds=dx$ ): $\int_0^1x\,dx = \frac12$ ; $AB$ ( $y=1-x$ , $ds=\sqrt2dx$ , integrand $x+1-x=1$ ): $\sqrt2$ ; $BO$ ( $x=0$ , $ds=dy$ ): $\frac12$ .

$1+\sqrt2$

Zadatak 3. $\oint_C\sqrt{x^2+y^2}\,ds$ ; $C$ : $x^2+y^2 = ax$ — rešen gore. $2a^2$

Zadatak 4. Dužina luka preseka površi $x^2 = 3y$ , $2xy = 9z$ od $A(0,0,0)$ do $B(3,3,2)$

Prikaži rešenje

Parametrizacija preko $x = t$ : $y = \frac{t^2}{3}$ , $z = \frac{2t^3}{27}$ , $t\in[0,3]$ ; $x' = 1$ , $y' = \frac{2t}{3}$ , $z' = \frac{2t^2}{9}$ :

$\ell = \int_0^3\sqrt{1 + \frac{4t^2}{9} + \frac{4t^4}{81}}\,dt = \int_0^3\Big(1 + \frac{2t^2}{9}\Big)dt \quad(\text{potpun kvadrat!}) = \Big(t + \frac{2t^3}{27}\Big)\Big|_0^3 = 3 + 2$

$\ell = 5$

Napomena uz beleške

U beleškama je pri uvrštavanju $t=3$ napravljena aritmetička greška pa je zapisano $\frac{11}{3}$ ; antiderivativ $t + \frac{2t^3}{27}$ je tačan i daje $3 + 2 = 5$ .

Zadatak 5. $\int_C(x^2-2xy)dx + (y^2-2xy)dy$ ; parabola $y = x^2$ , $|x|\le1$ — rešen gore. $-\frac{14}{15}$

Zadatak 6. $\int_C(2a-y)dx + x\,dy$ ; cikloida $x = a(t-\sin t)$ , $y = a(1-\cos t)$ , $t\in[0,2\pi]$

Prikaži rešenje

$dx = a(1-\cos t)dt$ , $dy = a\sin t\,dt$ . Posle uvrštavanja i sređivanja skoro sve se potire — ostane samo:

$I = a^2\int_0^{2\pi}t\sin t\,dt \overset{\text{p.i.}}{=} a^2\Big(-t\cos t\Big|_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi}\cos t\,dt\Big) = a^2(-2\pi + 0)$

$-2\pi a^2$

Zadatak 7. $\oint_C(y^2-z^2)dx + (z^2-x^2)dy + (x^2-y^2)dz$ ; $C$ : granica prvog oktanta sfere $x^2+y^2+z^2=1$

Prikaži rešenje

Tri četvrtine kružnica: $C_1$ ( $z=0$ ): $x=\cos t$ , $y=\sin t$ , $t: 0\to\frac{\pi}{2}$ ; $C_2$ ( $x=0$ ): $y=\cos t$ , $z=\sin t$ , $t: 0\to\frac{\pi}{2}$ ; $C_3$ ( $y=0$ ): $x=\cos t$ , $z=\sin t$ , ali unazad $t: \frac{\pi}{2}\to0$ (da putanja bude zatvorena).

Svaki deo daje $-\int_0^{\pi/2}\sin^3t\,dt - \int_0^{\pi/2}\cos^3t\,dt = -\frac23 - \frac23 = -\frac43$ (integrali $\sin^3, \cos^3$ smenom $u = \cos t$ odn. $\sin t$ ).

$I = 3\cdot\big({-\frac43}\big) = -4$

Zadatak 8. $\int_{AB}2xy\,dx + x^2dy$ , $A(0,0)$ , $B(1,1)$ , po tri putanje: a) izlomljena $A(0,0)\to C(1,0)\to B$ ; b) parabola $y=x^2$ ; v) duž $y=x$

Prikaži rešenje

a) na $AC$ : $y=0, dy=0$ → $0$ ; na $CB$ : $x=1, dx=0$ → $\int_0^1dy = 1$ . b) $dy = 2xdx$ : $\int_0^14x^3dx = 1$ . v) $y=x$ : $\int_0^13x^2dx = 1$ .

$I = 1$ za sve tri putanje — polje $2xy\,dx + x^2dy = d(x^2y)$ je totalni diferencijal, pa integral zavisi samo od krajeva!

Zadatak P1. $\iint_S(x+y+z)dS$ ; polusfera — rešen gore. $a^3\pi$

Zadatak P2. $\iint_S\frac{dS}{(1+x+y)^2}$ ; $S$ : granica tetraedra $x,y,z\ge0$ , $x+y+z\le1$

Prikaži rešenje

Četiri strane: $S_1$ ( $z=0$ , $dS=dxdy$ ): $\ln2 - \frac12$ ; $S_2$ ( $x=0$ , $dS=dydz$ , integrand $\frac{1}{(1+y)^2}$ ): $1-\ln2$ ; $S_3$ ( $y=0$ ): analogno $1-\ln2$ ; $S_4$ ( $z=1-x-y$ , $dS=\sqrt3\,dxdy$ , ista projekcija kao $S_1$ ): $\sqrt3(\ln2-\frac12)$ .

Zbir: $I = (\sqrt3-1)\big(\frac{\sqrt3}{2}+\ln2\big)$

Zadatak P3. Površina dela sfere $x^2+y^2+z^2=a^2$ unutar cilindra $x^2+y^2=b^2$ ( $b\le a$ )

Prikaži rešenje

Gornja kapa + donja (faktor 2): $P = 2\iint_{x^2+y^2\le b^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy$ ; polarne + smena $t = a^2-\rho^2$ :

$P = 4\pi a\int_0^b\frac{\rho\,d\rho}{\sqrt{a^2-\rho^2}} = 4\pi a\big(a - \sqrt{a^2-b^2}\big)$

$P = 4a\pi\big(a-\sqrt{a^2-b^2}\big)$ (kontrola: $b=a$ daje $4\pi a^2$ — cela sfera ✓)

9.5 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. $\displaystyle\int_C x\,ds$ ; $C$ : duž od $A(0,0)$ do $B(1,2)$

Prikaži rešenje

Parametrizacija duži: $x = t$ , $y = 2t$ , $t\in[0,1]$ ; $\;ds = \sqrt{1^2+2^2}\,dt = \sqrt5\,dt$ :

$\int_0^1 t\sqrt5\,dt = \sqrt5\cdot\frac{t^2}{2}\Big|_0^1 = \text{$\dfrac{\sqrt5}{2}$}$

Dodatni 2. Izračunati obim kružnice poluprečnika $r$ preko krivolinijskog integrala

Prikaži rešenje

Dužina krive $= \int_C ds$ . Parametrizacija $x = r\cos t$ , $y = r\sin t$ , $t\in[0,2\pi]$ :

$ds = \sqrt{r^2\sin^2t + r^2\cos^2t}\,dt = r\,dt \;\Longrightarrow\; \ell = \int_0^{2\pi}r\,dt = \text{$2\pi r$} \checkmark$

(Dobra brza provera parametrizacije i formule za $ds$ !)

Dodatni 3. $\displaystyle\oint_C -y\,dx + x\,dy$ ; $C$ : jedinična kružnica, pozitivan smer · direktno (uporedi sa Grinovom!)

Prikaži rešenje

$x = \cos t$ , $y = \sin t$ , $t\in[0,2\pi]$ ; $dx = -\sin t\,dt$ , $dy = \cos t\,dt$ :

$\oint_C = \int_0^{2\pi}\big({-\sin t}\cdot(-\sin t) + \cos t\cdot\cos t\big)dt = \int_0^{2\pi}(\sin^2t + \cos^2t)\,dt = \int_0^{2\pi}dt = \text{$2\pi$}$

Kontrola Grinovom: $Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2$ , pa $\iint_D 2\,dxdy = 2\pi$ ✓ (uopšte: $- y,dx + x,dy = $ površina oblasti!)

Dodatni 4. $\displaystyle\iint_S z\,dS$ ; $S$ : polusfera $x^2+y^2+z^2 = a^2$ , $z\ge0$

Prikaži rešenje

$z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ i $dS = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy$ (↗ dS za sferu) — proizvod se uprosti:

$z\,dS = \sqrt{a^2-x^2-y^2}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\,dxdy = a\,dxdy$

$\iint_S z\,dS = a\iint_{x^2+y^2\le a^2}dxdy = a\cdot a^2\pi = \text{$\pi a^3$}$

(Ovo je tačno „ $z$ -deo” zadatka P1 — zato je tamo rezultat $a^3\pi$ .)

10. Površinski integrali druge vrste i integralne formule

10.1 Površinski integral druge vrste

$\iint_S P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy$

Integral po orijentisanoj površi (strana određena jediničnom normalom $\vec n$ ; fizički: fluks polja kroz površ). Veza sa prvom vrstom (ključna formula!):

$\iint_S P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iint_S\big(P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma\big)\,dS, \qquad \vec n = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$

Recept — normala i direktno računanje

Površ $z = f(x,y)$ : označi $p = \frac{\partial f}{\partial x}$ , $q = \frac{\partial f}{\partial y}$ . Tada: $\vec n = \left(\frac{-p}{\pm\sqrt{1+p^2+q^2}},\ \frac{-q}{\pm\sqrt{1+p^2+q^2}},\ \frac{1}{\pm\sqrt{1+p^2+q^2}}\right), \qquad dS = \sqrt{1+p^2+q^2}\,dxdy$
Izbor znaka (cela grana isti znak!): strana sa normalom „naviše” ( $\cos\gamma > 0$ ) → znak $+$ ; „naniže” ( $\cos\gamma < 0$ ) → znak $-$ . Odredi iz geometrije zadate strane!
Pretvori u integral prve vrste, uvrsti $z = f(x,y)$ , pa dvojni integral po projekciji.
Površ od više delova (kocka!) — saberi; za svaku stranu svoja normala.

Rešen primer (zadatak 5 sa vežbi)

Postavka: $\iint_S x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy$ ; $S$ : deo ravni $x+y+z = a$ u prvom oktantu, strana suprotna od koordinatnog početka.

$z = a - x - y$ : $p = q = -1$ , $\sqrt{1+p^2+q^2} = \sqrt3$ . Strana „od” početka → normala naviše, $\cos\gamma > 0$ → znak $+$ :

$\vec n = \Big(\frac{1}{\sqrt3}, \frac{1}{\sqrt3}, \frac{1}{\sqrt3}\Big), \qquad dS = \sqrt3\,dxdy$

$I = \iint_S\frac{x+y+z}{\sqrt3}\,dS = \iint_D\frac{a}{\sqrt3}\cdot\sqrt3\,dxdy = a\cdot P(D) = a\cdot\frac{a^2}{2} = \boxed{\frac{a^3}{2}}$

(na ravni je $x+y+z = a$ konstanta — integral je samo konstanta × površina projekcije!)

10.2 Tri velike formule

Formula	Veza	Iskaz
Grinova	kriva ↔︎ dvojni	$\displaystyle\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D\Big(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Big)dxdy$ (pozitivan smer!)
Gaus–Ostrogradski	zatvorena površ ↔︎ trojni	$\displaystyle\iint_S P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iiint_V\Big(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\Big)dV$ (spoljašnja strana!)
Stoksova	kriva ↔︎ površ	$\displaystyle\oint_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_S\begin{vmatrix}\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R\end{vmatrix}dS$

Pazi — uslovi primene

Grinova: $P$ , $Q$ i izvodi neprekidni na celoj oblasti $D$ , ne samo na krivoj! Singularitet unutar oblasti (npr. $\frac{1}{x^2+y^2}$ u $(0,0)$ ) → formula ne sme direktno (vidi zadatak 8 — trik).
Gaus–Ostrogradski: površ mora biti zatvorena, integracija po spoljašnjoj strani.
Stoksova: smer obilaska krive usklađen sa izborom normale (površ ostaje sleva).

Rešen primer (zadatak 7 sa vežbi — Grinova)

Postavka: $\oint_C xy^2\,dy - x^2\,dx$ , $C$ : kružnica $x^2+y^2 = a^2$ .

Pročitaj pažljivo: $P = -x^2$ (uz $dx$ !), $Q = xy^2$ . Tada $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 - 0$ :

$\oint_C = \iint_{x^2+y^2\le a^2}y^2\,dxdy = \int_0^{2\pi}\sin^2\varphi\,d\varphi\int_0^a\rho^3d\rho = \pi\cdot\frac{a^4}{4} = \boxed{\frac{a^4\pi}{4}}$

Rešen primer (zadatak 9 sa vežbi — Gaus–Ostrogradski)

Postavka: $\iint_S x^2dydz + y^2dxdz + z^2dxdy$ ; $S$ : spoljašnja strana tetraedra $x,y,z\ge0$ , $x+y+z\le1$ .

Divergencija: $2x + 2y + 2z$ :

$I = 2\iiint_V(x+y+z)\,dV = 2\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\int_0^{1-x-y}(x+y+z)\,dz = \int_0^1dx\int_0^{1-x}\big(1-(x+y)^2\big)dy = \boxed{\frac14}$

Rešen primer (zadatak 12 sa vežbi — Stoksova)

Postavka: $\oint_C(z-y)dx + (x-z)dy + (y-x)dz$ ; $C$ : trougao $A(a,0,0)$ , $B(0,a,0)$ , $C(0,0,a)$ .

Površ: trougaoni deo ravni $x+y+z = a$ ; $\vec n = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ , $dS = \sqrt3\,dxdy$ . Rotor (iz determinante): $(1+1, 1+1, 1+1) = (2,2,2)$ :

$\oint_C = \iint_S 2(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)\,dS = 2\sqrt3\iint_S dS = 6\iint_D dxdy = 6\cdot\frac{a^2}{2} = \boxed{3a^2}$

10.3 Svi zadaci sa 10. vežbi — vežbaj sam

Zadatak 4. $\iint_S x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy$ ; $S$ : spoljašnja strana kocke $[0,1]^3$

Prikaži rešenje

Kocka ima 6 strana — za svaku spoljašnja normala i svođenje na integral prve vrste $\iint(x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma)\,dS$ :

Strana	$\vec n$	integrand na strani	$I_i$
$z = 0$ (dno)	$(0,0,-1)$	$-z = 0$	$0$
$z = 1$ (vrh)	$(0,0,1)$	$z = 1$	$\iint_{[0,1]^2}1 = 1$
$y = 0$	$(0,-1,0)$	$-y = 0$	$0$
$y = 1$	$(0,1,0)$	$y = 1$	$1$
$x = 0$	$(-1,0,0)$	$-x = 0$	$0$
$x = 1$	$(1,0,0)$	$x = 1$	$1$

Na svakoj strani $dS$ je običan element površine (ravne strane), a svaki nenulti integral je površina jediničnog kvadrata.

$I = 1 + 1 + 1 = 3$

Kontrola Gaus–Ostrogradskim: $\operatorname{div}(x,y,z) = 3$ , pa $I = 3\cdot V_{\text{kocke}} = 3\cdot1 = 3$ ✓

Zadatak 5. Ravan $x+y+z = a$ u prvom oktantu — rešen gore. $\frac{a^3}{2}$

Zadatak 6. $\iint_S(y-z)dydz + (z-x)dzdx + (x-y)dxdy$ ; $S$ : spoljna strana konusa $z^2 = x^2+y^2$ , $0\le z\le h$

Prikaži rešenje

$z = \sqrt{x^2+y^2}$ : $p = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ , $q = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ , $\sqrt{1+p^2+q^2} = \sqrt2$ . Spoljna strana konusa → normala „beži” od ose sa $\cos\gamma < 0$ → znak $-$ :

$\vec n = \Big(\frac{x}{\sqrt{2(x^2+y^2)}},\ \frac{y}{\sqrt{2(x^2+y^2)}},\ -\frac{1}{\sqrt2}\Big)$

Posle sređivanja ( $(y-z)x + (z-x)y = z(y-x)$ ): $I = 2\iint_{x^2+y^2\le h^2}(y-x)\,dxdy = 0$ po simetriji diska.

$I = 0$

Zadatak 7. Grinova: $\oint_C xy^2dy - x^2dx$ , kružnica poluprečnika $a$ — rešen gore. $\frac{a^4\pi}{4}$

Zadatak 8. $\oint_L\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2}$ ; $L$ : $x^2+y^2 = R^2$ , pozitivan smer

Prikaži rešenje

$P = \frac{-y}{x^2+y^2}$ , $Q = \frac{x}{x^2+y^2}$ imaju prekid u $(0,0)$ koji je unutar oblasti — Grinova ne sme direktno!

Trik: na krivoj je $x^2+y^2 = R^2$ konstanta:

$I = \frac{1}{R^2}\oint_L x\,dy - y\,dx \overset{\text{Grin}}{=} \frac{1}{R^2}\iint_D(1+1)\,dxdy = \frac{2}{R^2}\cdot R^2\pi$

$I = 2\pi$

Zadatak 9. Gaus: tetraedar — rešen gore. $\frac14$

Zadatak 10. $\iint_S\frac{x^3}{3}dydz + \frac{y^3}{3}dxdz + \frac{z^3}{3}dxdy$ ; $S$ : spoljašnja strana sfere $x^2+y^2+z^2 = 1$

Prikaži rešenje

Divergencija: $x^2+y^2+z^2$ . Gaus + sferne koordinate ( $\rho^2\cdot\rho^2\sin\theta = \rho^4\sin\theta$ ):

$I = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta\int_0^1\rho^4d\rho = 2\pi\cdot2\cdot\frac15$

$\frac{4\pi}{5}$

Zadatak 12. Stoksova: trougao $A(a,0,0)$ , $B(0,a,0)$ , $C(0,0,a)$ — rešen gore. $3a^2$

10.4 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. $\displaystyle\oint_C(x-y)\,dx + (x+y)\,dy$ ; $C$ : kružnica $x^2+y^2 = R^2$ , pozitivan smer · Grinova

Prikaži rešenje

$P = x - y$ , $Q = x + y$ : $\;\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$ :

$\oint_C = \iint_{x^2+y^2\le R^2}2\,dxdy = 2\cdot R^2\pi = \text{$2\pi R^2$}$

Dodatni 2. $\displaystyle\iint_S x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy$ ; $S$ : spoljašnja strana sfere $x^2+y^2+z^2 = R^2$ · Gaus

Prikaži rešenje

$\operatorname{div}(x, y, z) = 1 + 1 + 1 = 3$ :

$I = 3\iiint_V dV = 3\cdot\frac{4}{3}R^3\pi = \text{$4\pi R^3$}$

(Opšti trik: fluks polja $(x,y,z)$ kroz zatvorenu površ = 3 × zapremina.)

Dodatni 3. $\displaystyle\iint_S x^2dydz + y^2dzdx + z^2dxdy$ ; $S$ : spoljašnja strana kocke $[0,a]^3$ · Gaus

Prikaži rešenje

Divergencija: $2(x+y+z)$ ; po simetriji $\iiint_V x\,dV = \frac a2\cdot a^2\cdot a = \frac{a^4}{2}$ (srednja vrednost $\frac a2$ puta zapremina):

$I = 2\iiint_V(x+y+z)dV = 2\cdot3\cdot\frac{a^4}{2} = \text{$3a^4$}$

Dodatni 4. $\displaystyle\oint_C y\,dx + z\,dy + x\,dz$ ; $C$ : kružnica $x^2+y^2 = 1$ u ravni $z = 0$ , pozitivan smer gledano odozgo · Stoksova

Prikaži rešenje

Rotor (determinanta, ↗ determinante): $\operatorname{rot}(y, z, x) = (0-1,\ 0-1,\ 0-1) = (-1,-1,-1)$ .

Za površ uzmi disk $x^2+y^2\le1$ u ravni $z=0$ sa normalom $\vec n = (0,0,1)$ :

$\oint_C = \iint_S(-1,-1,-1)\cdot(0,0,1)\,dS = -\iint_S dS = -\pi\cdot1^2 = \text{$-\pi$}$

Brza mapa: prepoznaj tip zadatka

Šta vidiš na testu	Tip	Ključni prvi potez
„odrediti domen funkcije”	domen	popiši uslove (koren, ln, imenilac), skiciraj
„pokazati da limes ne postoji”	putanje	$y = kx$ (pa $y = x^2$ ako treba) — dve različite vrednosti
„izračunati limes”	smena / polarne / ocena	$t = xy$ ; ili $\rho, \varphi$ ; ili uklještenje
„ispitati neprekidnost”	limes = vrednost?	prilazi iz svih oblasti
„ispitati diferencijabilnost”	3 koraka	neprekidnost → izvodi po definiciji → limes iz teoreme
„naći lokalne ekstremume”	stacionarne tačke	$f_x = f_y = 0$ , pa $AC - B^2$ (3 prom.: minori $D_1, D_2, D_3$ )
„ekstremum uz uslov $g = 0$ ”	Lagranž	$F = f + \lambda g$ ; znak $d^2F$ uz diferenciranu vezu
$\iint_D$ po trouglu/paraboli…	dvojni	skica → granice → redosled integracije
$x^2+y^2$ u integrandu ili krug	polarne	$\rho, \varphi$ , jakobijan $\rho$
$\iiint$ sa konusom/paraboloidom	cilindrične	presek površi → projekcija → $\rho\le z\le\ldots$
$\iiint$ sa sferom/loptom	sferne	jakobijan $\rho^2\sin\theta$
„zapremina tela između površi”	dvojni/trojni	presek → projekcija $D$ → gornja − donja
$\int_C f\,ds$	kriv. 1. vrste	parametrizuj, $ds = \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,dt$
„dužina luka”	kriv. 1. vrste	$\ell = \int ds$ (potkorena veličina često potpun kvadrat)
$\int_C P\,dx + Q\,dy$	kriv. 2. vrste	parametrizuj u zadatom smeru, $dx = x'dt$ …
$\oint$ u ravni, zatvorena kriva	Grinova	$\iint(Q_x - P_y)$ — proveri neprekidnost unutra!
$\iint_S f\,dS$	površ. 1. vrste	$dS = \sqrt{1+p^2+q^2}\,dxdy$ , projekcija
$\iint_S \ldots dydz + \ldots dxdy$	površ. 2. vrste	normala $\vec n$ (pazi znak/stranu!), svedi na 1. vrstu
zatvorena površ, spoljašnja strana	Gaus–Ostrogradski	divergencija → trojni
$\oint$ prostorne krive po konturi površi	Stoksova	rotor (determinanta) → površinski

Mini-test za samoproveru (uradi bez gledanja u skriptu)

Ispitaj diferencijabilnost $f = \sqrt[3]{x^3+y^3}$ u $(0,0)$ . 2. Nađi lokalne ekstremume $f = (2x-y+1)^2 + (x-3y)^2 + 1$ . 3. Izračunaj zapreminu tela između $z = 3-x^2-y^2$ i $z = x^2+y^2$ . 4. Izračunaj $\oint_C xy^2dy - x^2dx$ po kružnici $x^2+y^2 = a^2$ . 5. Izračunaj $\iint_S x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy$ po spoljašnjoj strani kocke $[0,1]^3$ .

Rešenja: B7/6.vežbe, 1b/7.vežbe, D7/8.vežbe, 7/10.vežbe, 4/10.vežbe. Sve tačno? Spreman si za drugi test.

Funkcije više promenljivih i integrali

6. Funkcije više promenljivih

6.1 Domen (oblast definisanosti)

6.2 Granične vrednosti

6.3 Neprekidnost

6.4 Parcijalni izvodi

6.5 Diferencijabilnost

6.6 Svi zadaci sa 6. vežbi — vežbaj sam

6.7 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

7. Lokalni i uslovni ekstremumi

7.1 Lokalni ekstremumi — dve promenljive

7.2 Tri promenljive — Silvesterov kriterijum

7.3 Uslovni ekstremumi — Lagranžovi množioci

7.4 Svi zadaci sa 7. vežbi — vežbaj sam

7.5 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

8. Dvojni i trojni integrali

8.1 Dvojni integral — ideja i svođenje na dva obična integrala

8.2 Polarne koordinate

8.3 Trojni integral

8.4 Svi zadaci sa 8. vežbi — vežbaj sam

8.5 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

9. Krivolinijski i površinski integrali prve vrste

9.1 Krivolinijski integral prve vrste — ∫Γfds\int_{\Gamma} f\,ds

9.2 Krivolinijski integral druge vrste — ∫ΓPdx+Qdy+Rdz\int_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy + R\,dz

9.3 Površinski integral prve vrste — ∬SfdS\iint_S f\,dS

9.4 Svi zadaci sa 9. vežbi — vežbaj sam

9.5 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

10. Površinski integrali druge vrste i integralne formule

10.1 Površinski integral druge vrste

10.2 Tri velike formule

10.3 Svi zadaci sa 10. vežbi — vežbaj sam

10.4 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Brza mapa: prepoznaj tip zadatka

9.1 Krivolinijski integral prve vrste — $\int_{\Gamma} f\,ds$

9.2 Krivolinijski integral druge vrste — $\int_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy + R\,dz$

9.3 Površinski integral prve vrste — $\iint_S f\,dS$