Matematika 3 · Skripta za spremanje testa · Sekcija 1

Diferencijalne jednačine i redovi

Vežbe 1–5 · napravljeno prema beleškama i snimcima sa vežbi (2024/25) · svi zadaci sa vežbi su uključeni, sa postupkom i konačnim rezultatom

Sadržaj

Diferencijalne jednačine prvog reda — razdvajanje promenljivih · homogene · linearne · Bernulijeve
Jednačine višeg reda i specijalne jednačine — snižavanje reda · Lagranžova · Klerova · Rikatijeva
Linearne DJ višeg reda (LDJVR) — karakteristična jednačina · oblik partikularnog rešenja
Brojni i funkcionalni redovi — kriterijumi konvergencije · uniformna konvergencija
Stepeni i Furijeovi redovi — poluprečnik konvergencije · razvoj funkcije · Furijeovi koeficijenti
Brza mapa: prepoznaj tip zadatka
📋 Podsetnik (cheatsheet) — logaritmi · trigonometrija · izvodi · integrali · limesi — sve formule na jednom mestu

Kako se uči iz ove skripte

Svako poglavlje ima: teoriju (minimum koji moraš znati), recept (postupak korak po korak — ovo je ono što se na testu zapravo radi), detaljno rešene primere i sve zadatke sa vežbi sa sklopivim rešenjima. Zadatke prvo pokušaj sam na papiru, pa tek onda otvori „Prikaži rešenje” da proveriš. To je jedini način da znanje ostane do testa.

1. Diferencijalne jednačine prvog reda

Diferencijalna jednačina (DJ) prvog reda je jednačina oblika $F(x, y, y') = 0$ , gde je $y = y(x)$ nepoznata funkcija. Rešiti DJ znači naći sve funkcije $y$ koje je zadovoljavaju. Opšte rešenje uvek sadrži jednu proizvoljnu konstantu $C$ (jer se integrali jednom).

Na vežbama se rade četiri tipa — ceo posao na testu je: (1) prepoznaš tip, (2) primeniš recept za taj tip, (3) uredno odintegrališ.

Vidiš u jednačini	Tip	Recept
$y'$ = (nešto samo od $x$ ) · (nešto samo od $y$ )	razdvajanje promenljivih	razdvoj pa integrali obe strane
svuda se javlja količnik $\frac{y}{x}$ (ili se može svesti na njega)	homogena	smena $u = \frac{y}{x}$
$y' + f(x)\,y = g(x)$ — $y$ i $y'$ na prvi stepen	linearna	smena $y = uv$
$y' + f(x)\,y = g(x)\,y^{\alpha}$ , $\alpha \neq 0, 1$	Bernulijeva	smena $y = uv$ (kao linearna)

Univerzalni trik sa vežbi: pređi na x = x(y)

Ako jednačina nije nijednog poznatog tipa po $y(x)$ , probaj da zameniš uloge promenljivih — posmatraj $x = x(y)$ . Veza izvoda je: $y' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{x'}$ Ovim trikom su na vežbama rešeni zadaci 5, 8 i 11 (jednačina koja je „nepoznata” po $y$ postane homogena/linearna/Bernulijeva po $x$ ).

1.1 Jednačine koje razdvajaju promenljive

Oblik: $y' = P(x)\,Q(y)$ — desna strana je proizvod funkcije samo od $x$ i funkcije samo od $y$ .

Recept — razdvajanje promenljivih

Napiši $y' = \dfrac{dy}{dx}$ i prebaci sve sa $y$ levo, sve sa $x$ desno: $\dfrac{dy}{Q(y)} = P(x)\,dx$ .
Integrali obe strane: $\displaystyle\int \frac{dy}{Q(y)} = \int P(x)\,dx$ .
Dodaj jednu konstantu $C$ (samo na desnoj strani).
Ako može lepo — izrazi $y$ eksplicitno; ako ne može, rešenje sme da ostane implicitno.

Rešen primer (zadatak 2 sa vežbi)

Postavka: $y' = e^{x-y}$

Desnu stranu rastavimo: $e^{x-y} = e^x \cdot e^{-y}$ — proizvod „samo $x$ ” i „samo $y$ “, dakle razdvajanje promenljivih.

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y} \;\Longrightarrow\; e^y\,dy = e^x\,dx \;\Longrightarrow\; \int e^y\,dy = \int e^x\,dx$

$e^y = e^x + C, \quad C \in \mathbb{R}$

Logaritmujemo obe strane da izrazimo $y$ :

$y = \ln\left(e^x + C\right)$

Pazi — najčešće greške

$\displaystyle\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ — ne zaboravi apsolutnu vrednost.
Konstanta se piše odmah pri integraciji, i to jedna (ne po jedna sa svake strane).
Kad rešenje pomnožiš brojem (npr. sa 2), i konstanta postaje $2C$ — na vežbama se ona ne preimenuje, ostaje $2C$ (može i preimenovati u novo $C$ , samo budi dosledan).
Kada se u toku rešavanja pojavi $\ln|C|$ umesto $C$ (zgodno za spajanje logaritama), piše se uslov $C \neq 0$ .

1.2 Homogene jednačine

Oblik: $y' = \varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$ — posle sređivanja, $y$ i $x$ se javljaju samo kroz količnik $\frac{y}{x}$ .

Kako prepoznati: podeli brojilac i imenilac najvećim stepenom od $x$ — ako sve postane funkcija od $\frac{y}{x}$ , jednačina je homogena.

Recept — homogena DJ

Sredi jednačinu tako da se vidi da zavisi samo od $\frac{y}{x}$ .
Smena: $u = \dfrac{y}{x}$ , gde je $u = u(x)$ . Tada $y = ux$ i $y' = u'x + u$ .
Uvrsti — dobija se jednačina po $u$ koja razdvaja promenljive.
Reši po $u$ , pa vrati smenu $u = \frac{y}{x}$ .

Rešen primer (zadatak 6 sa vežbi)

Postavka: $x^3 y' - x^2 y - y^2 = 0$

Podelimo celu jednačinu sa $x^3$ :

$y' - \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^3} = 0 \;\Longrightarrow\; y' - \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{x} = 0$

Ključni zapis: $\frac{y^2}{x^3} = \left(\frac{y}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{x}$ — sad se vidi struktura sa $\frac{y}{x}$ . Smena $u = \frac{y}{x}$ , $y' = u'x + u$ :

$u'x + u - u - \frac{u^2}{x} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{du}{dx}\,x = \frac{u^2}{x}$

Članovi $u$ i $-u$ su se poništili (to se skoro uvek desi kod homogenih — dobra kontrola!). Razdvajamo:

$\int \frac{du}{u^2} = \int \frac{dx}{x^2} \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x} + C$

$\frac{1}{u} = \frac{1 - Cx}{x} \;\Longrightarrow\; u = \frac{x}{1-Cx} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x} = \frac{x}{1-Cx}$

$y = \dfrac{x^2}{1-Cx}$

Varijanta: javlja se x/y umesto y/x

Ako se u jednačini prirodno javlja $\frac{x}{y}$ (kao u zadatku 5), radi se „ogledalo”: smena $u = \frac{x}{y}$ sa $x = x(y)$ , dakle $x = uy$ , $x' = u'y + u$ , a $y'$ u jednačini zameniš sa $\frac{1}{x'} = \frac{1}{u'y+u}$ . Dalje je sve isto — razdvajanje po $u$ i $y$ .

1.3 Linearne jednačine

Oblik: $y' + f(x)\,y = g(x)$ — i $y'$ i $y$ su na prvi stepen, ne množe se međusobno; $f, g$ su bilo kakve funkcije od $x$ .

Recept — linearna DJ (metoda y = uv)

Dovedi jednačinu na oblik $y' + f(x)y = g(x)$ .
Smena: $y = uv$ (obe su funkcije od $x$ ), pa $y' = u'v + uv'$ .
Uvrsti i grupiši: $u'v + u\,(v' + f(x)\,v) = g(x)$ .
Korak $v$ : izaberi $v$ tako da zagrada bude nula: $v' + f(x)v = 0$ . Ovo razdvaja promenljive; uzmi jedno rešenje bez konstante.
Korak $u$ : ostaje $u'v = g(x)$ , tj. $u' = \frac{g(x)}{v(x)}$ — direktna integracija, ovde ide konstanta $C$ .
Rešenje: $y = u \cdot v$ .

Rešen primer (zadatak 7 sa vežbi)

Postavka: $y' + 2xy = 3x^2 e^{-x^2}$

Već je u obliku linearne: $f(x) = 2x$ , $g(x) = 3x^2e^{-x^2}$ . Smena $y = uv$ :

$u'v + uv' + 2x\,uv = 3x^2e^{-x^2} \;\Longrightarrow\; u'v + u\underbrace{(v' + 2xv)}_{=\,0} = 3x^2 e^{-x^2}$

Korak $v$ : $v' + 2xv = 0$ :

$\frac{dv}{v} = -2x\,dx \;\Longrightarrow\; \ln|v| = -x^2 \;\Longrightarrow\; v = e^{-x^2}$

(bez konstante — tražimo jedno konkretno $v$ !)

Korak $u$ : $u'\,e^{-x^2} = 3x^2 e^{-x^2}$ , pa se $e^{-x^2}$ skrati:

$u' = 3x^2 \;\Longrightarrow\; u = x^3 + C, \quad C \in \mathbb{R}$

$y = e^{-x^2}\left(x^3 + C\right)$

Pazi

Kod koraka $v$ ne piše se konstanta — treba nam bilo koje jedno $v$ . Konstanta ide tek kod integracije za $u$ . Ako je staviš na oba mesta, rešenje ti se raspadne.
Ako jednačina nije linearna po $y(x)$ (npr. zbog člana $\frac{y}{x - 3y^2}$ ), probaj po $x(y)$ : oblik $x' + f(y)\,x = g(y)$ — kao u zadatku 8.

1.4 Bernulijeve jednačine

Oblik: $y' + f(x)\,y = g(x)\,y^{\alpha}$ , gde $\alpha \neq 0$ i $\alpha \neq 1$ (za $\alpha = 0$ to je linearna, za $\alpha = 1$ razdvaja promenljive).

Recept — Bernulijeva DJ (kako se radi na vežbama)

Dovedi na oblik $y' + f(x)y = g(x)y^{\alpha}$ i pročitaj $\alpha$ .
Ista smena kao kod linearne: $y = uv$ , $y' = u'v + uv'$ .
Grupiši: $u'v + u\,(v' + f(x)v) = g(x)\,u^{\alpha}v^{\alpha}$ .
Korak $v$ : $v' + f(x)v = 0$ — nađi $v$ bez konstante.
Korak $u$ : ostaje $u'v = g(x)u^{\alpha}v^{\alpha}$ , tj. jednačina po $u$ koja razdvaja promenljive: $\int u^{-\alpha}\,du = \int g(x)\,v(x)^{\alpha-1}\,dx$ . Ovde ide $C$ .
Vrati $y = uv$ .

Rešen primer (zadatak 10 sa vežbi)

Postavka: $xy' + y = 2xy^2\ln x$

Podelimo sa $x$ : $y' + \dfrac{y}{x} = 2y^2 \ln x$ — Bernulijeva sa $\alpha = 2$ , $f(x)=\frac1x$ , $g(x) = 2\ln x$ .

Smena $y = uv$ :

$u'v + u\underbrace{\left(v' + \frac{v}{x}\right)}_{=\,0} = 2\ln x\; u^2v^2$

Korak $v$ : $\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{dx}{x} \Rightarrow \ln|v| = -\ln|x| \Rightarrow v = \dfrac{1}{x}$ .

Korak $u$ : $u'\cdot\dfrac1x = 2\ln x\, u^2 \cdot \dfrac{1}{x^2}$ , pomnožimo sa $x$ :

$\frac{du}{dx} = \frac{2\ln x}{x}u^2 \;\Longrightarrow\; \int \frac{du}{u^2} = 2\int \frac{\ln x}{x}\,dx$

Pomoćni integral (smena $t = \ln x$ , $dt = \frac{dx}{x}$ ): $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}dx = \frac{\ln^2 x}{2}$ .

$-\frac{1}{u} = \ln^2 x + C \;\Longrightarrow\; u = -\frac{1}{\ln^2 x + C}$

$y = -\dfrac{1}{x\left(\ln^2 x + C\right)}$

1.5 Svi zadaci sa 1. vežbi — vežbaj sam

Kako vežbati

Redom: pročitaj postavku, prepoznaj tip naglas, uradi na papiru do kraja, pa otvori rešenje. Ako ti postupak stane — otvori rešenje, pročitaj samo sledeći korak, zatvori i nastavi sam.

Zadatak 1. $xyy' = 1 - x^2$ · razdvajanje promenljivih

Prikaži rešenje

$y\frac{dy}{dx} = \frac{1-x^2}{x} \;\Longrightarrow\; \int y\,dy = \int\left(\frac{1}{x} - x\right)dx \;\Longrightarrow\; \frac{y^2}{2} = \ln|x| - \frac{x^2}{2} + C \;\Big/\cdot 2$

$y^2 = 2\ln|x| - x^2 + 2C$ (implicitno rešenje)

Zadatak 2. $y' = e^{x-y}$ · razdvajanje promenljivih ↗ pravila stepena

Prikaži rešenje

Korak 1 — prepoznaj tip. Po pravilu stepena $e^{x-y} = e^x\cdot e^{-y}$ — desna strana je proizvod „samo $x$ ” i „samo $y$ ” → razdvajanje promenljivih.

Korak 2 — razdvoj. $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^x}{e^y}$ ; sve sa $y$ levo, sve sa $x$ desno:

$e^y\,dy = e^x\,dx$

Korak 3 — integrali obe strane (tablično $\int e^t dt = e^t$ ):

$\int e^y\,dy = \int e^x\,dx \;\Longrightarrow\; e^y = e^x + C, \quad C\in\mathbb{R}$

Korak 4 — izrazi $y$ . Logaritmuj obe strane ( $\ln e^y = y$ , ↗ logaritmi):

$y = \ln\left(e^x + C\right)$

Provera: $y' = \frac{e^x}{e^x + C} = \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$ ✓

Zadatak 3. $y - xy' = 2(1 + x^2y')$ · razdvajanje + parcijalni razlomci

Prikaži rešenje

Pregrupiši: $y - 2 = (x + 2x^2)y'$ , pa razdvoj:

$\int\frac{dy}{y-2} = \int\frac{dx}{x(1+2x)}$

Parcijalni razlomci: $\dfrac{1}{x(1+2x)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{1+2x}$ ; iz $2A+B=0$ , $A=1$ sledi $A=1$ , $B=-2$ :

$\int\frac{dx}{x(1+2x)} = \ln|x| - \ln|1+2x| + C_1, \qquad C_1 = \ln|C|,\; C\neq 0$

$\ln|y-2| = \ln\left|\frac{Cx}{1+2x}\right| \;\Longrightarrow\; |y-2| = \left|\frac{Cx}{1+2x}\right|$

$y = 2 + \dfrac{Cx}{1+2x}$ , $C \neq 0$

Zadatak 4. $y' = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$ · homogena

Prikaži rešenje

Podeli brojilac i imenilac sa $x^2$ : $y' = \dfrac{\frac{y}{x}}{1 + (\frac{y}{x})^2}$ . Smena $u = \frac{y}{x}$ , $y' = u'x + u$ :

$u'x + u = \frac{u}{1+u^2} \;\Longrightarrow\; u'x = -\frac{u^3}{1+u^2} \;\Longrightarrow\; \int\frac{1+u^2}{u^3}\,du = -\int\frac{dx}{x}$

$-\frac{1}{2u^2} + \ln|u| = -\ln|x| + \ln|C| \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{2u^2} = \ln\left|\frac{C}{xu}\right|$

Vrati $u = \frac{y}{x}$ (pa je $xu = y$ ):

$-\dfrac{x^2}{2y^2} = \ln\left|\dfrac{C}{y}\right|$ (implicitno)

Zadatak 5. $1 + e^{x/y} + e^{x/y}\left(1 - \dfrac{x}{y}\right)y' = 0$ · homogena sa smenom $u = x/y$

Prikaži rešenje

Javlja se $\frac{x}{y}$ → smena $u = \frac{x}{y}$ , $x = uy$ , $x' = u'y + u$ , i inverzija izvoda $y' = \frac{1}{x'}$ :

$1 + e^u + \frac{e^u(1-u)}{u'y + u} = 0 \;\Longrightarrow\; (1+e^u)(u'y+u) = e^u(u-1)$

Posle množenja se članovi $ue^u$ poništavaju:

$u'y(1+e^u) = -(u + e^u) \;\Longrightarrow\; \int\frac{1+e^u}{u+e^u}\,du = -\int\frac{dy}{y}$

Levi integral smenom $t = u + e^u$ , $dt = (1+e^u)du$ daje $\ln|u+e^u|$ :

$\ln|u + e^u| + \ln|C| = -\ln|y| \;\Longrightarrow\; \frac{1}{|y|} = \left|C\left(\frac{x}{y} + e^{x/y}\right)\right|$

$x + y\,e^{x/y} = \text{const}$ (implicitno; ekvivalentan zapis rezultata sa vežbi)

Zadatak 6. $x^3y' - x^2y - y^2 = 0$ · homogena

Prikaži rešenje

Korak 1 — svedi na oblik sa $\frac yx$ . Podeli celu jednačinu sa $x^3$ :

$y' - \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^3} = 0 \;\Longrightarrow\; y' - \frac yx - \Big(\frac yx\Big)^2\cdot\frac1x = 0$

(ključni zapis: $\frac{y^2}{x^3} = \big(\frac yx\big)^2\cdot\frac1x$ — sada je vidljivo da je homogena)

Korak 2 — smena $u = \frac yx$ , $y = ux$ , $y' = u'x + u$ :

$u'x + u - u - \frac{u^2}{x} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{du}{dx}\,x = \frac{u^2}{x}$

( $u$ i $-u$ se poništili — standardna kontrola kod homogenih!)

Korak 3 — razdvajanje i integracija (tablično $\int u^{-2}du = -\frac1u$ ):

$\int\frac{du}{u^2} = \int\frac{dx}{x^2} \;\Longrightarrow\; -\frac1u = -\frac1x + C \;\Longrightarrow\; \frac1u = \frac1x - C = \frac{1-Cx}{x} \;\Longrightarrow\; u = \frac{x}{1-Cx}$

Korak 4 — vrati smenu $u = \frac yx$ :

$\frac yx = \frac{x}{1-Cx} \;\Longrightarrow\; \text{<span class="rezultat">$y = \dfrac{x^2}{1-Cx}$</span>}$

Zadatak 7. $y' + 2xy = 3x^2e^{-x^2}$ · linearna

Prikaži rešenje

Već je u obliku $y' + f(x)y = g(x)$ sa $f = 2x$ , $g = 3x^2e^{-x^2}$ . Smena $y = uv$ , $y' = u'v + uv'$ ; grupiši:

$u'v + u\underbrace{(v' + 2xv)}_{=\,0} = 3x^2e^{-x^2}$

Korak $v$ (zagrada = 0; bez konstante!):

$\frac{dv}{v} = -2x\,dx \;\Longrightarrow\; \ln|v| = -x^2 \;\Longrightarrow\; v = e^{-x^2}$

Korak $u$ (ostatak jednačine $u'v = g$ ; $e^{-x^2}$ se skrati):

$u'e^{-x^2} = 3x^2e^{-x^2} \;\Longrightarrow\; u' = 3x^2 \;\Longrightarrow\; u = x^3 + C$

Rešenje: $y = uv$ :

$y = e^{-x^2}\left(x^3 + C\right)$

Provera: $y' = -2xe^{-x^2}(x^3+C) + 3x^2e^{-x^2} = -2xy + 3x^2e^{-x^2}$ ✓

Zadatak 8. $y\,dx + (x - 3y^2)\,dy = 0$ · linearna po $x = x(y)$

Prikaži rešenje

Po $y(x)$ ovo nije linearna (proveri: $y' + \frac{y}{x-3y^2} = 0$ — član uz „ $y$ ” nije oblika $f(x)y$ ). Podeli zato sa $dy$ :

$y\,x' + x - 3y^2 = 0 \;\Big/{:}\,y \;\Longrightarrow\; x' + \frac{x}{y} = 3y \quad\text{— linearna po } x(y)$

Smena $x = uv$ : iz $v' + \frac{v}{y} = 0$ sledi $v = \frac{1}{y}$ ; iz $u'\cdot\frac1y = 3y$ sledi $u' = 3y^2$ , pa $u = y^3 + C$ .

$x = \dfrac{1}{y}\left(y^3 + C\right)$

Zadatak 9. $y' = \dfrac{2}{x}y - x$ · linearna

Prikaži rešenje

Oblik: $y' - \frac{2}{x}y = -x$ . Smena $y = uv$ : iz $v' - \frac{2}{x}v = 0$ : $\ln|v| = 2\ln|x| \Rightarrow v = x^2$ ; iz $u'x^2 = -x$ : $u' = -\frac1x \Rightarrow u = -\ln|x| + \ln|C| = \ln\left|\frac{C}{x}\right|$ .

$y = x^2\ln\left|\dfrac{C}{x}\right|$

Zadatak 10. $xy' + y = 2xy^2\ln x$ · Bernulijeva ( $\alpha = 2$ ) ↗ smena u integralu

Prikaži rešenje

Korak 1 — dovedi na oblik Bernulijeve. Podeli sa $x$ : $\;y' + \frac yx = 2y^2\ln x$ → oblik $y' + f(x)y = g(x)y^{\alpha}$ sa $\alpha = 2$ .

Korak 2 — smena $y = uv$ i grupisanje:

$u'v + u\underbrace{\Big(v' + \frac vx\Big)}_{=\,0} = 2\ln x\,u^2v^2$

Korak $v$ : $\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{dx}{x} \Rightarrow \ln|v| = -\ln|x| \Rightarrow v = \dfrac1x$ .

Korak $u$ (uvrsti $v = \frac1x$ , pomnoži sa $x$ ):

$u'\cdot\frac1x = 2\ln x\;u^2\cdot\frac{1}{x^2} \;\Longrightarrow\; \int\frac{du}{u^2} = 2\int\frac{\ln x}{x}\,dx$

Desni integral smenom $t = \ln x$ , $dt = \frac{dx}{x}$ : $\;\int\frac{\ln x}{x}dx = \int t\,dt = \frac{t^2}{2} = \frac{\ln^2x}{2}$ . Dakle:

$-\frac1u = 2\cdot\frac{\ln^2x}{2} + C = \ln^2x + C \;\Longrightarrow\; u = -\frac{1}{\ln^2x + C}$

Rešenje: $y = uv = \frac1x\cdot u$ :

$y = -\dfrac{1}{x\left(\ln^2 x + C\right)}$

Zadatak 11. $(x^2y^3 + xy)\,y' = 1$ · Bernulijeva po $x = x(y)$ , $\alpha = 2$

Prikaži rešenje

Po $y(x)$ tip nije prepoznatljiv. Inverzija $y' = \frac{1}{x'}$ :

$x' = x^2y^3 + xy \;\Longrightarrow\; x' - yx = y^3x^2 \quad\text{— Bernulijeva po } x(y),\ \alpha = 2$

Smena $x = uv$ : iz $v' = yv$ : $v = e^{y^2/2}$ ; ostaje $\int\frac{du}{u^2} = \int y^3e^{y^2/2}dy$ .

Parcijalna integracija ( $u_{\text{p.i.}} = y^2$ , $dv_{\text{p.i.}} = ye^{y^2/2}dy$ , uz smenu $t = \frac{y^2}{2}$ , ↗ parcijalna integracija): $\int y^3e^{y^2/2}dy = e^{y^2/2}(y^2 - 2)$ .

$-\frac{1}{u} = e^{y^2/2}(y^2-2) + C \;\Longrightarrow\; u = -\frac{1}{e^{y^2/2}(y^2-2)+C}$

$x = -\dfrac{e^{y^2/2}}{e^{y^2/2}\left(y^2-2\right)+C}$

1.7 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Zašto dodatni zadaci

Sledeći zadaci su standardni ispitni tipovi — isti recepti kao gore, drugačiji brojevi. Idealni za drugi prolaz kroz gradivo i za dan ponavljanja.

Dodatni 1. $y' = \dfrac{1+y^2}{1+x^2}$ · razdvajanje promenljivih ↗ tablica integrala

Prikaži rešenje

Razdvoj: $\dfrac{dy}{1+y^2} = \dfrac{dx}{1+x^2}$ . Obe strane su tablični integrali ( $\int\frac{dt}{1+t^2} = \arctan t$ ):

$\arctan y = \arctan x + C$

$y = \tan(\arctan x + C)$ (može ostati i implicitno)

Dodatni 2. $y' = 2xy$ , uz uslov $y(0) = 3$ · razdvajanje + početni uslov

Prikaži rešenje

$\int\frac{dy}{y} = \int 2x\,dx \;\Longrightarrow\; \ln|y| = x^2 + C_1 \;\Longrightarrow\; y = Ce^{x^2}$

(prelaz $e^{x^2+C_1} = e^{C_1}e^{x^2} = Ce^{x^2}$ , ↗ logaritmi)

Uslov $y(0) = 3$ : $\;C\cdot e^0 = 3 \Rightarrow C = 3$ .

$y = 3e^{x^2}$

Dodatni 3. $y' = \dfrac{y}{x} + \tan\dfrac{y}{x}$ · homogena ↗ trigonometrija

Prikaži rešenje

Desna strana zavisi samo od $\frac yx$ → smena $u = \frac yx$ , $y' = u'x + u$ :

$u'x + u = u + \tan u \;\Longrightarrow\; u'x = \tan u \;\Longrightarrow\; \int\frac{\cos u}{\sin u}\,du = \int\frac{dx}{x}$

Levi integral smenom $t = \sin u$ : $\;\ln|\sin u| = \ln|x| + \ln|C| = \ln|Cx|$ :

$\sin u = Cx \;\Longrightarrow\; \text{<span class="rezultat">$\sin\dfrac{y}{x} = Cx$</span>}$

Dodatni 4. $xy' - 2y = x^3$ · linearna

Prikaži rešenje

Podeli sa $x$ : $\;y' - \frac2x y = x^2$ . Smena $y = uv$ :

Korak $v$ : $v' = \frac2x v \Rightarrow \ln|v| = 2\ln|x| \Rightarrow v = x^2$ .

Korak $u$ : $u'x^2 = x^2 \Rightarrow u' = 1 \Rightarrow u = x + C$ .

$y = x^2(x + C) = x^3 + Cx^2$

Provera: $y' = 3x^2 + 2Cx$ ; $\;xy' - 2y = 3x^3 + 2Cx^2 - 2x^3 - 2Cx^2 = x^3$ ✓

Dodatni 5. $y' = \dfrac{1}{x+y}$ · linearna po $x = x(y)$ (trik inverzije)

Prikaži rešenje

Po $y(x)$ nije nijedan poznati tip. Inverzija $y' = \frac{1}{x'}$ :

$\frac{1}{x'} = \frac{1}{x+y} \;\Longrightarrow\; x' = x + y \;\Longrightarrow\; x' - x = y \quad\text{— linearna po } x(y)$

Korak $v$ : $v' = v \Rightarrow v = e^y$ . Korak $u$ : $u'e^y = y \Rightarrow u' = ye^{-y}$ ; parcijalnom integracijom (↗ p.i., $u_{\text{p.i.}} = y$ , $dv_{\text{p.i.}} = e^{-y}dy$ ):

$u = \int ye^{-y}dy = -ye^{-y} - e^{-y} + C = -(y+1)e^{-y} + C$

$x = uv = e^y\big({-(y+1)e^{-y} + C}\big)$

$x = Ce^y - y - 1$

Provera: $x' = Ce^y - 1 = (x + y + 1) - 1 = x+y$ ✓

Dodatni 6. $y' - y = e^x y^2$ · Bernulijeva ( $\alpha = 2$ )

Prikaži rešenje

Oblik $y' + f y = g y^{\alpha}$ sa $f = -1$ , $g = e^x$ , $\alpha = 2$ . Smena $y = uv$ :

Korak $v$ : $v' - v = 0 \Rightarrow v = e^x$ .

Korak $u$ : $u'e^x = e^x u^2 e^{2x} \Rightarrow \dfrac{du}{u^2} = e^{2x}dx \Rightarrow -\dfrac1u = \dfrac{e^{2x}}{2} + C_1$ , pa $u = -\dfrac{2}{e^{2x} + C}$ (uz $C = 2C_1$ ).

$y = -\dfrac{2e^x}{e^{2x} + C}$

Provera (kontrola tipa): smena $z = \frac1y$ daje linearnu $z' + z = -e^x$ sa istim rešenjem.

2. Jednačine višeg reda i specijalne jednačine prvog reda

Druga vežba pokriva dve grupe: DJ višeg reda kojima se snižava red (smena $y' = p$ ) i tri specijalne jednačine prvog reda — Lagranžovu, Klerovu i Rikatijevu.

2.1 DJ višeg reda koje ne sadrže y

Oblik: $F(y^{(n)}, \ldots, y'', y', x) = 0$ — u jednačini se ne pojavljuje samo $y$ .

Recept — jednačina bez y

Smena: $y' = p$ , gde je $p = p(x)$ . Tada $y'' = p'$ .
Dobijaš DJ prvog reda po $p(x)$ — reši je nekom metodom iz poglavlja 1.
Kad nađeš $p$ , vrati se: $\dfrac{dy}{dx} = p(x)$ , pa integrali još jednom da dobiješ $y$ .
Jednačina drugog reda ⇒ dve konstante ( $C$ iz prvog, $C_1$ iz drugog integraljenja).

Rešen primer (zadatak A2 sa vežbi — sa početnim uslovima)

Postavka: $y'' = e^{2x}$ , uz uslove $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1$ .

Smena $y' = p$ , $y'' = p'$ :

$p' = e^{2x} \;\Longrightarrow\; p = \frac{1}{2}e^{2x} + C \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

$y = \frac{1}{4}e^{2x} + Cx + C_1 \quad\text{— opšte rešenje}$

Sada uslovi: iz $y(0) = 1$ : $\frac14 + C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = \frac34$ ; iz $y'(0) = -1$ : $\frac12 + C = -1 \Rightarrow C = -\frac32$ .

$y = \dfrac{1}{4}e^{2x} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{4}$

2.2 DJ višeg reda koje ne sadrže x

Oblik: $F(y^{(n)}, \ldots, y'', y', y) = 0$ — nema $x$ .

Recept — jednačina bez x

Smena: $p = y'$ , ali sada $p = p(y)$ (funkcija od $y$ !).
Ključna formula: $y'' = \dfrac{dp}{dx} = \dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx} = p'p$ (gde je $p' = \frac{dp}{dy}$ ).
Dobijaš DJ prvog reda po $p(y)$ — reši je.
Vrati se preko $\dfrac{dy}{dx} = p(y)$ — razdvajanje promenljivih daje $y$ .
Grananje: ako se jednačina faktoriše kao $p\cdot(\ldots) = 0$ , razmotri i granu $p = 0$ (tj. $y = \text{const}$ ) — često je obuhvaćena opštim rešenjem.

Rešen primer (zadatak B1 sa vežbi)

Postavka: $y\,y'' = y'^2$

Nema $x$ → smena $p = y'$ , $y'' = p'p$ :

$y\,p'p = p^2 \;\Longrightarrow\; p\,(y\,p' - p) = 0$

Grana 1: $p = 0 \Rightarrow y = C$ (konstantna rešenja).

Grana 2: $yp' = p$ :

$\int\frac{dp}{p} = \int\frac{dy}{y} \;\Longrightarrow\; \ln|p| = \ln|C_1y| \;\Longrightarrow\; p = C_1 y$

Sada nazad: $y' = C_1y$ :

$\int\frac{dy}{y} = C_1\int dx \;\Longrightarrow\; \ln|y| = C_1x + C_2$

$|y| = e^{C_1x + C_2}$

(grana $y = C$ je obuhvaćena za $C_1 = 0$ )

2.3 Lagranžova jednačina

Oblik: $y = x\,f(y') + \varphi(y')$ — $y$ je izražen preko $x$ i $y'$ , linearno po $x$ .

Recept — Lagranžova DJ

Smena $y' = p$ : $\;y = x\,f(p) + \varphi(p)$ .
Diferenciraj po $x$ (zapis $\big/{}'_x$ ); pri tome $\frac{dy}{dx} = p$ : dobijaš vezu $p = f(p) + \big(xf'(p) + \varphi'(p)\big)\frac{dp}{dx}$ .
Podeli sa $\frac{dp}{dx}$ — pređi na $x = x(p)$ , jer je $\frac{dx}{dp} = x'$ . Dobija se DJ prvog reda po $x(p)$ (obično linearna ili homogena).
Reši je → $x = x(p; c)$ .
Rešenje je parametarsko: $\;\begin{cases} x = x(p;c) \\ y = x\,f(p) + \varphi(p)\end{cases}$ — parametar je $p$ , ne eliminišeš ga!

Rešen primer (zadatak 2 sa vežbi)

Postavka: $y = 2xy' - 2y'^2$

Smena $y' = p$ : $y = 2xp - 2p^2$ . Diferenciramo po $x$ :

$p = 2p + 2xp' - 4pp' \;\Longrightarrow\; -p = \frac{dp}{dx}\,(2x - 4p)$

Delimo sa $\frac{dp}{dx}$ (prelaz na $x(p)$ , $\frac{dx}{dp} = x'$ ):

$-p\,x' = 2x - 4p \;\Longrightarrow\; x' = -\frac{2x}{p} + 4$

Ovo je homogena po $x(p)$ : smena $u = \frac{x}{p}$ , $x = up$ , $x' = u'p + u$ :

$u'p + u = -2u + 4 \;\Longrightarrow\; \int\frac{du}{4-3u} = \int\frac{dp}{p} \;\Longrightarrow\; -\frac13\ln|4-3u| = \ln|cp|$

$(4-3u)^{-1/3} = cp \;\Longrightarrow\; 4 - \frac{3x}{p} = (cp)^{-3}$

$x = \dfrac{p}{3}\left(4 - c^{-3}p^{-3}\right), \qquad y = 2xp - 2p^2$ (parametarski)

2.4 Klerova jednačina

Oblik: $y = xy' + \varphi(y')$ — specijalan slučaj Lagranžove kada je $f(p) = p$ .

Recept — Klerova DJ

Smena $y' = p$ , diferenciraj po $x$ — član $p$ se skrati i ostane: $0 = p'\,\big(x + \varphi'(p)\big)$ .
Grana 1 (opšte rešenje): $p' = 0 \Rightarrow p = C$ , vrati u jednačinu: $y = Cx + \varphi(C)$ — familija pravih (u jednačini prosto zameni $y' \to C$ ).
Grana 2 (singularno rešenje): $x = -\varphi'(p)$ ; vrati u $y = xp + \varphi(p)$ → parametarski $\{x = -\varphi'(p),\; y = -\varphi'(p)\,p + \varphi(p)\}$ . Ono se ne dobija iz opšteg ni za jedno $C$ (obvojnica familije pravih).

Rešen primer (zadatak 4 sa vežbi)

Postavka: $y = xy' + y'^3$

Klerova sa $\varphi(p) = p^3$ . Odmah pišemo:

Opšte rešenje: $y = Cx + C^3$

Singularno: iz $x + 3p^2 = 0$ : $x = -3p^2$ , pa $y = -3p^2\cdot p + p^3 = -2p^3$ :

$x = -3p^2, \quad y = -2p^3$ (eliminacijom parametra: $27y^2 = -4x^3$ )

2.5 Rikatijeva jednačina

Oblik: $y' = P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)$ — kvadratna po $y$ . Ne rešava se „iz nule”: mora biti poznato (ili zadato u obliku) jedno partikularno rešenje $y_1$ .

Recept — Rikatijeva DJ

Nađi partikularno rešenje $y_1$ : zadat je oblik (npr. $y_1 = \frac{a}{x}$ ) — uvrsti ga u jednačinu i odredi $a$ .
Smena: $y = y_1 + \dfrac{1}{z}$ , $z = z(x)$ ; tada $y' = y_1' - \dfrac{z'}{z^2}$ .
Posle uvrštavanja (članovi sa $y_1$ se poskraćuju jer $y_1$ rešava jednačinu!) dobija se linearna DJ po $z$ .
Reši je smenom $z = uv$ (recept iz poglavlja 1.3).
Rešenje: $y = y_1 + \dfrac{1}{z}$ .

Rešen primer (zadatak 5 sa vežbi)

Postavka: $x^2(y' - y^2) + xy + 4 = 0$ , partikularno rešenje oblika $y_1 = \frac{a}{x}$ .

Podelimo sa $x^2$ : $y' = y^2 - \frac{y}{x} - \frac{4}{x^2}$ .

Korak 1 — nađi $a$ : uvrsti $y_1 = \frac{a}{x}$ , $y_1' = -\frac{a}{x^2}$ :

$-\frac{a}{x^2} = \frac{a^2}{x^2} - \frac{a}{x^2} - \frac{4}{x^2} \;\Longrightarrow\; a^2 - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2 \;\Longrightarrow\; y_1 = \frac{2}{x}$

Korak 2 — smena $y = \frac{2}{x} + \frac1z$ , $y' = -\frac{2}{x^2} - \frac{z'}{z^2}$ . Posle skraćivanja:

$z' + \frac{3}{x}z + 1 = 0 \quad\text{— linearna po } z$

Korak 3 — $z = uv$ : iz $v' + \frac{3v}{x} = 0$ : $v = \frac{1}{x^3}$ ; iz $u'\frac{1}{x^3} = -1$ : $u = -\frac{x^4}{4} + C$ . Dakle $z = \frac{C}{x^3} - \frac{x}{4}$ .

$y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{\frac{C}{x^3} - \frac{x}{4}}$

2.6 Svi zadaci sa 2. vežbi — vežbaj sam

Zadatak A1. $y'' = xe^x$ · bez $y$ : dvostruka integracija (2× parcijalna integracija)

Prikaži rešenje

$p' = xe^x \Rightarrow p = \int xe^x dx \overset{\text{p.i.}}{=} e^x(x-1) + C$ . Zatim $y = \int\big(e^x(x-1)+C\big)dx \overset{\text{p.i.}}{=} (x-2)e^x + Cx + C_1$ .

$y = (x-2)e^x + C_1 + Cx$

Zadatak A2. $y'' = e^{2x}$ , $y(0)=1$ , $y'(0)=-1$ · bez $y$ + početni uslovi

Prikaži rešenje

Snižavanje reda: $y' = p(x)$ , $y'' = p'$ :

$p' = e^{2x} \;\Longrightarrow\; p = \int e^{2x}dx = \frac12e^{2x} + C$

Drugo integraljenje ( $y' = p$ ):

$y = \int\Big(\frac12e^{2x} + C\Big)dx = \frac14e^{2x} + Cx + C_1 \quad\text{— opšte rešenje}$

Početni uslovi (uvrsti $x = 0$ ):

$y(0) = 1$ : $\;\frac14 + C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = \frac34$
$y'(0) = -1$ : $\;\frac12 + C = -1 \Rightarrow C = -\frac32$

$y = \frac{1}{4}e^{2x} - \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}$

Provera: $y'' = e^{2x}$ ✓, $y(0) = \frac14 + \frac34 = 1$ ✓, $y'(0) = \frac12 - \frac32 = -1$ ✓

Zadatak A3. $x^2y'' - y'^2 = 0$ · bez $y$ : razdvajanje po $p$

Prikaži rešenje

$x^2p' = p^2 \Rightarrow \int\frac{dp}{p^2} = \int\frac{dx}{x^2} \Rightarrow -\frac1p = -\frac1x - C \Rightarrow p = \frac{x}{1+Cx}$ .

Zatim $y = \int\frac{x}{1+Cx}dx$ (trik: brojilac $= \frac{1}{C}\big((Cx+1)-1\big)$ ):

$y = \dfrac{x}{C} - \dfrac{1}{C^2}\ln|1+Cx| + C_1$

Napomena uz beleške

U beleškama sa vežbi uokvireno je $y = \frac{x}{C} - \ln|1+Cx| + C_1$ — pri smeni $t = 1+Cx$ izgubljen je faktor $\frac{1}{C}$ . Proverom ( $y'$ mora biti $\frac{x}{1+Cx}$ ) ispravan je oblik sa $\frac{1}{C^2}$ , kako je gore napisano.

Zadatak A4. $xy'' = y'\ln\dfrac{y'}{x}$ · za samostalnu vežbu (nije rađen na času)

Uputstvo

Smena $y' = p$ daje $xp' = p\ln\frac{p}{x}$ , tj. $p' = \frac{p}{x}\ln\frac{p}{x}$ — homogena po $p(x)$ : smena $u = \frac{p}{x}$ vodi na $\int\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \int\frac{dx}{x}$ (smena $t = \ln u - 1$ ). Dobija se $\ln u = 1 + Kx$ , tj. $p = xe^{1+Kx}$ , pa se $y$ dobija još jednom integracijom (parcijalna integracija).

Zadatak B1. $yy'' = y'^2$ · bez $x$

Prikaži rešenje

Nema $x$ → smena $p = y'$ sa $p = p(y)$ i ključna formula $y'' = p'p$ (gde $p' = \frac{dp}{dy}$ ):

$y\,p'p = p^2 \;\Longrightarrow\; p\,(y\,p' - p) = 0$

Grana 1: $p = 0 \Rightarrow y' = 0 \Rightarrow y = C$ (konstantna rešenja).

Grana 2: $yp' = p$ — razdvajanje po $p$ i $y$ :

$\int\frac{dp}{p} = \int\frac{dy}{y} \;\Longrightarrow\; \ln|p| = \ln|y| + \ln|C_1| \;\Longrightarrow\; p = C_1y$

Vraćanje na $y(x)$ : $\;\frac{dy}{dx} = C_1y$ — opet razdvajanje:

$\int\frac{dy}{y} = C_1\int dx \;\Longrightarrow\; \ln|y| = C_1x + C_2$

$|y| = e^{C_1x + C_2}$ , tj. $y = Ke^{C_1x}$

(grana $y = C$ obuhvaćena za $C_1 = 0$ ) Provera: $yy'' = K e^{C_1x}\cdot KC_1^2e^{C_1x} = (KC_1e^{C_1x})^2 = y'^2$ ✓

Zadatak B2. $y'' - y'(1+y')^2 = 0$ · bez $x$

Prikaži rešenje

$p'p - p(1+p)^2 = 0 \Rightarrow p\big(p' - (1+p)^2\big) = 0$ . Grana 1: $y = C_1$ . Grana 2:

$\int\frac{dp}{(1+p)^2} = \int dy \Rightarrow -\frac{1}{1+p} = y + C_1 \Rightarrow p = \frac{1+y+C_1}{-y-C_1}$

$\int\frac{y+C_1}{1+y+C_1}dy = -\int dx \quad(\text{trik: brojilac } +1-1)$

$y - \ln|y+1+C_1| + C_2 = -x$ (implicitno)

Zadatak L1. $y + yy'^2 = xy'$ · Lagranžova

Prikaži rešenje

Sredi: $y = \frac{p}{1+p^2}x$ (gde $y' = p$ ). Diferenciranje po $x$ , pa deljenje sa $\frac{dp}{dx}$ daje jednačinu po $x(p)$ ; razdvajanjem:

$\int\frac{dx}{x} = \int\frac{1-p^2}{p^3(1+p^2)}dp$

Parcijalni razlomci: $\frac{1-p^2}{p^3(1+p^2)} = \frac{-2}{p} + \frac{1}{p^3} + \frac{2p}{1+p^2}$ ( $A=-2, B=0, C=1, D=0, E=2$ ):

$\ln|x| = -2\ln|p| - \frac{1}{2p^2} + \ln|1+p^2| + \ln|c|$

$x = c\,(1+p^2)\,p^{-2}e^{-\frac{1}{2p^2}}, \qquad y = \dfrac{p}{1+p^2}\,x$ (parametarski)

Zadatak L2. $y = 2xy' - 2y'^2$ · Lagranžova

Prikaži rešenje

Smena $y' = p$ : $\;y = 2xp - 2p^2$ . Diferenciraj po $x$ (levo $\frac{dy}{dx} = p$ ):

$p = 2p + 2xp' - 4pp' \;\Longrightarrow\; -p = \frac{dp}{dx}(2x - 4p)$

Pređi na $x(p)$ (podeli sa $\frac{dp}{dx}$ ; $\frac{dx}{dp} = x'$ ):

$-p\,x' = 2x - 4p \;\Longrightarrow\; x' = -\frac{2x}{p} + 4 \quad\text{— homogena po } x(p)$

Smena $u = \frac xp$ , $x = up$ , $x' = u'p + u$ :

$u'p + u = -2u + 4 \;\Longrightarrow\; \int\frac{du}{4-3u} = \int\frac{dp}{p} \;\Longrightarrow\; -\frac13\ln|4-3u| = \ln|cp|$

$(4-3u)^{-1/3} = cp \;\Longrightarrow\; 4 - \frac{3x}{p} = (cp)^{-3} \;\Longrightarrow\; \frac{3x}{p} = 4 - c^{-3}p^{-3}$

Parametarsko rešenje (drugu jednačinu daje polazna veza):

$x = \dfrac{p}{3}\big(4 - c^{-3}p^{-3}\big), \qquad y = 2xp - 2p^2$

Zadatak K1. $y = xy' - \ln y'$ · Klerova ↗ logaritmi

Prikaži rešenje

Klerova sa $\varphi(p) = -\ln p$ . Diferenciranjem po $x$ (uz $y' = p$ ) član $p$ se skrati:

$p = p + xp' - \frac{p'}{p} \;\Longrightarrow\; 0 = p'\Big(x - \frac1p\Big)$

Grana 1 (opšte): $p' = 0 \Rightarrow p = C$ ; vrati u jednačinu: $y = Cx - \ln C$ ( $C > 0$ zbog $\ln$ ) — familija pravih.

Grana 2 (singularno): $x = \frac1p$ ; vrati u $y = xp - \ln p$ : $\;y = 1 - \ln p$ . Eliminacija parametra ( $p = \frac1x$ ):

$y = 1 + \ln x$ — obvojnica familije pravih (ne dobija se ni za jedno $C$ !)

Zadatak K2. $y = xy' + y'^3$ · Klerova

Prikaži rešenje

Klerova sa $\varphi(p) = p^3$ . Diferenciranje po $x$ : $\;0 = p'(x + 3p^2)$ — dve grane:

Opšte ( $p = C$ , direktno zameni $y' \to C$ u jednačini): $y = Cx + C^3$

Singularno ( $x + 3p^2 = 0$ ): $\;x = -3p^2$ , pa $y = (-3p^2)p + p^3 = -2p^3$ :

$x = -3p^2, \quad y = -2p^3$

Eliminacija: iz $p^2 = -\frac x3$ i $p^3 = -\frac y2$ : $\;p^6 = -\frac{x^3}{27} = \frac{y^2}{4} \Rightarrow 27y^2 = -4x^3$ (polukubna parabola, $x \le 0$ ).

Zadatak R1. $x^2(y' - y^2) + xy + 4 = 0$ , $y_1 = \frac{a}{x}$ · Rikatijeva

Prikaži rešenje

Korak 1 — sredi i nađi $a$ . Podeli sa $x^2$ : $\;y' = y^2 - \frac yx - \frac{4}{x^2}$ . Uvrsti $y_1 = \frac ax$ , $y_1' = -\frac{a}{x^2}$ :

$-\frac{a}{x^2} = \frac{a^2}{x^2} - \frac{a}{x^2} - \frac{4}{x^2} \;\Longrightarrow\; 0 = a^2 - 4 \;\Longrightarrow\; a = 2 \;(\text{biramo}), \quad y_1 = \frac2x$

Korak 2 — smena $y = \frac2x + \frac1z$ , $y' = -\frac{2}{x^2} - \frac{z'}{z^2}$ . Posle uvrštavanja i skraćivanja (članovi sa $y_1$ otpadaju jer $y_1$ rešava jednačinu):

$z' + \frac3x z + 1 = 0 \quad\text{— linearna po } z$

Korak 3 — reši linearnu ( $z = uv$ ): iz $v' + \frac{3v}{x} = 0$ : $v = \frac{1}{x^3}$ ; iz $u'\frac{1}{x^3} = -1$ : $u = -\frac{x^4}{4} + C$ . Dakle $z = \frac{C}{x^3} - \frac x4$ .

$y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{\frac{C}{x^3} - \frac{x}{4}}$

Zadatak R2. $x^3y' - 2x^6y^2 + 2x^4y + 2 = 0$ , $y_1 = \frac{a}{x^2}$ · Rikatijeva

Prikaži rešenje

Podeli sa $x^3$ : $y' - 2x^3y^2 + 2xy + \frac{2}{x^3} = 0$ . Uvrštavanjem $y_1 = \frac{a}{x^2}$ : $a = 1$ .

Smena $y = \frac{1}{x^2} + \frac1z$ daje linearnu $z' + 2xz + 2x^3 = 0$ ; rešenje ( $z = uv$ : $v = e^{-x^2}$ , $u = e^{x^2}(1-x^2)+C$ ):

$z = 1 - x^2 + Ce^{-x^2}$

$y = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{1 - x^2 + Ce^{-x^2}}$

2.7 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. $y'' = \dfrac{1}{x}$ · bez $y$ : dvostruka integracija ↗ tablica integrala

Prikaži rešenje

$p' = \frac1x \Rightarrow p = \ln|x| + C_1$ . Zatim $y = \int(\ln|x| + C_1)dx$ ; parcijalnom integracijom $\int\ln x\,dx = x\ln x - x$ :

$y = x\ln|x| - x + C_1x + C_2$

Dodatni 2. $yy'' + y'^2 = 0$ · bez $x$

Prikaži rešenje

Smena $p = p(y)$ , $y'' = p'p$ : $\;y\,p'p + p^2 = 0 \Rightarrow p\,(yp' + p) = 0$ .

Grana 2: $\frac{dp}{p} = -\frac{dy}{y} \Rightarrow p = \frac{C_1}{y}$ . Vraćanje: $y\,dy = C_1dx \Rightarrow \frac{y^2}{2} = C_1x + C_2'$ :

$y^2 = C_1x + C_2$ (grana $p=0$ , tj. $y = $ const, obuhvaćena za $C_1 = 0$ )

Provera: diferenciranjem $2yy' = C_1$ , pa još jednom: $2(y'^2 + yy'') = 0$ ✓

Dodatni 3. $y = xy' + \sqrt{1 + y'^2}$ · Klerova (poznato singularno rešenje!)

Prikaži rešenje

Opšte: $y = Cx + \sqrt{1+C^2}$ (prave).

Singularno: iz $x = -\varphi'(p) = -\dfrac{p}{\sqrt{1+p^2}}$ i $y = xp + \sqrt{1+p^2} = \dfrac{-p^2 + 1 + p^2}{\sqrt{1+p^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+p^2}}$ :

$x^2 + y^2 = \frac{p^2}{1+p^2} + \frac{1}{1+p^2} = 1$

singularno rešenje: gornja polukružnica $x^2 + y^2 = 1$ , $y > 0$

Geometrijski: sve prave $y = Cx + \sqrt{1+C^2}$ su tangente jedinične kružnice!

Dodatni 4. $y' = y^2 - \dfrac{2}{x^2}$ , partikularno rešenje oblika $y_1 = \dfrac{a}{x}$ · Rikatijeva

Prikaži rešenje

Nađi $a$ : $-\frac{a}{x^2} = \frac{a^2}{x^2} - \frac{2}{x^2} \Rightarrow a^2 + a - 2 = 0 \Rightarrow a = 1$ (ili $-2$ ; biramo $a = 1$ ), $y_1 = \frac1x$ .

Smena $y = \frac1x + \frac1z$ : posle skraćivanja dobija se linearna $z' + \frac2x z = -1$ .

Reši: $v = \frac{1}{x^2}$ ; $u' = -x^2 \Rightarrow u = -\frac{x^3}{3} + C$ ; $z = \frac{C}{x^2} - \frac x3$ .

$y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\frac{C}{x^2} - \frac{x}{3}} = \dfrac1x + \dfrac{3x^2}{3C - x^3}$

3. Linearne diferencijalne jednačine višeg reda (LDJVR)

Oblik sa konstantnim koeficijentima: $y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_ny = Q(x), \qquad a_i \in \mathbb{R}$

Ako je $Q(x) \equiv 0$ jednačina je homogena, inače nehomogena. Sve se vrti oko jedne ideje:

$\boxed{\;y = y_h + y_p\;}$

gde je $y_h$ opšte rešenje homogene (uvek se može naći), a $y_p$ jedno partikularno rešenje nehomogene.

3.1 Homogena jednačina — karakteristična jednačina

Recept — homogena LDJ sa konstantnim koeficijentima

Napiši karakterističnu jednačinu (KJ): zameni $y^{(k)} \to r^k$ : $r^n + a_1r^{n-1} + \cdots + a_{n-1}r + a_n = 0$
Nađi sve korene (faktorizacija: razlika kvadrata, kub binoma, izvlačenje $r$ …).
Svakom korenu pripiši rešenja po tabeli ispod.
$y_h = C_1y_1 + C_2y_2 + \cdots + C_ny_n$ — ukupno tačno $n$ konstanti!

Koren KJ	Partikularna rešenja homogene
$r_1$ realan, prost	$e^{r_1x}$
$r_1$ realan, višestrukosti $p$	$e^{r_1x},\; xe^{r_1x},\; \ldots,\; x^{p-1}e^{r_1x}$
$r = \alpha \pm i\beta$ prost par	$e^{\alpha x}\cos\beta x,\; e^{\alpha x}\sin\beta x$
$r = \alpha \pm i\beta$ višestrukosti $p$	$e^{\alpha x}\cos\beta x,\, e^{\alpha x}\sin\beta x,\, xe^{\alpha x}\cos\beta x,\, \ldots,\, x^{p-1}e^{\alpha x}\sin\beta x$

Rešeni mini-primeri (zadaci 3–6 sa vežbi) — sva 4 slučaja

(3) $y'' + 3y' - 4y = 0$ : KJ $r^2 + 3r - 4 = 0 \Rightarrow r_{1,2} = \frac{-3\pm 5}{2}$ , tj. $r_1 = 1$ , $r_2 = -4$ (realni, prosti): $y = C_1e^{x} + C_2e^{-4x}$

(4) $y^{(4)} - 16y = 0$ : KJ $r^4 - 16 = (r-2)(r+2)(r^2+4) = 0 \Rightarrow r = \pm 2,\ \pm 2i$ ( $\alpha = 0$ , $\beta = 2$ ): $y = C_1e^{-2x} + C_2e^{2x} + C_3\cos 2x + C_4\sin 2x$

(5) $y'' - 6y' + 13y = 0$ : KJ $r^2 - 6r + 13 = 0 \Rightarrow r_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} = 3 \pm 2i$ : $y = e^{3x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$

(6) $y''' - 6y'' + 12y' - 8y = 0$ : KJ $(r-2)^3 = 0 \Rightarrow r = 2$ trostruki ( $p = 3$ ): $y = (C_1 + C_2x + C_3x^2)e^{2x}$

3.2 Nehomogena — metoda neodređenih koeficijenata

Kada je desna strana $Q(x)$ „lepog” oblika, $y_p$ se pogađa po obliku sa nepoznatim koeficijentima, koji se odrede uvrštavanjem. Dva oblika:

Oblik 1: $\;Q(x) = e^{ax}\big(b_0x^m + \cdots + b_m\big)$ — eksponencijalna puta polinom stepena $m$ .

Ako $a$ nije koren KJ: $\;Y_p = \big(B_0x^m + \cdots + B_m\big)e^{ax}$
Ako $a$ jeste koren KJ višestrukosti $p$ : $\;Y_p = \big(B_0x^m + \cdots + B_m\big)e^{ax}\cdot x^{p}$ ← rezonanca!

Oblik 2: $\;Q(x) = e^{\alpha x}\big(P_{m_1}(x)\cos\beta x + S_{m_2}(x)\sin\beta x\big)$

Ako $\alpha + i\beta$ nije koren KJ: $\;Y_p = e^{\alpha x}\big(R_m(x)\cos\beta x + T_m(x)\sin\beta x\big)$ , $\;m = \max\{m_1, m_2\}$
Ako $\alpha + i\beta$ jeste koren KJ višestrukosti $p$ : dodatni faktor $x^p$ : $\;Y_p = x^pe^{\alpha x}\big(R_m\cos\beta x + T_m\sin\beta x\big)$

Pazi — tri stvari koje svi zaboravljaju

Uvek prvo reši homogenu, pa proveri da li je $a$ (ili $\alpha + i\beta$ ) koren KJ. Zaboravljen faktor $x^p$ = ceo zadatak propao (sve se poništi i dobiješ $0 = Q(x)$ ).
Kod oblika 2 u $Y_p$ uvek idu i $\cos$ i $\sin$ , čak i ako u $Q(x)$ postoji samo jedan od njih (vidi zadatak 9: $Q = 25e^x\sin x$ , a $y_p = e^x(A\cos x + B\sin x)$ , ispadne $A = 4 \neq 0$ !).
Polinomi u $Y_p$ su puni (svi koeficijenti do stepena $m$ ), npr. za $m = 1$ : $Ax + B$ , ne samo $Ax$ .
Konstantna desna strana je oblik 1 sa $a = 0$ : pazi da li je $0$ koren KJ (jeste čim nema člana $a_ny$ ).

Rešen primer (zadatak 7 sa vežbi — rezonanca)

Postavka: $y'' - 4y = 4e^{-2x}$

Homogena: KJ $r^2 - 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2$ , pa $y_h = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$ .

Oblik $y_p$ : $Q = 4e^{-2x}$ je oblik 1 sa $a = -2$ , $m = 0$ . Ali $a = -2$ jeste koren KJ ( $p = 1$ ) → dodatni faktor $x$ :

$y_p = Axe^{-2x}$

Uvrštavanje: $y_p' = Ae^{-2x}(1 - 2x)$ , $y_p'' = 4Ae^{-2x}(x - 1)$ :

$4Ae^{-2x}(x-1) - 4Axe^{-2x} = 4e^{-2x} \;\Longrightarrow\; -4A = 4 \;\Longrightarrow\; A = -1$

$y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} - xe^{-2x}$

Rešen primer (zadatak 9 sa vežbi — oblik 2)

Postavka: $y'' - 6y' + 9y = 25e^x\sin x$

Homogena: KJ $(r-3)^2 = 0 \Rightarrow r = 3$ dvostruki, pa $y_h = (C_1 + C_2x)e^{3x}$ .

Oblik $y_p$ : $\alpha = 1$ , $\beta = 1$ ; broj $1 + i$ nije koren KJ → bez faktora $x$ :

$y_p = e^x(A\cos x + B\sin x)$

Izvodi (grupiši uz $\cos$ i $\sin$ — uredno, ovo je mesto gde se najviše greši):

$y_p' = e^x\big((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\big), \qquad y_p'' = e^x\big(2B\cos x - 2A\sin x\big)$

Uvrštavanje i deljenje sa $e^x$ ; izjednači koeficijente uz $\cos x$ i uz $\sin x$ :

$\begin{cases} 3A - 4B = 0 \\ 4A + 3B = 25\end{cases} \;\Longrightarrow\; A = 4,\; B = 3$

$y = (C_1 + C_2x)e^{3x} + e^x(4\cos x + 3\sin x)$

3.3 Metoda varijacije konstanti

Kada desna strana nije tabličnog oblika (npr. $\frac{1}{e^x+1}$ , $\frac{1}{\sin x}$ , $\tan x$ …), neodređeni koeficijenti ne rade. Tada:

Recept — varijacija konstanti (za red 2)

Nađi dva linearno nezavisna rešenja homogene: $y_1, y_2$ (preko KJ, ili su zadata).
Traži rešenje $y = C_1(x)\,y_1 + C_2(x)\,y_2$ — konstante postaju funkcije.
Reši sistem po $C_1'(x), C_2'(x)$ : $\begin{cases} C_1'y_1 + C_2'y_2 = 0 \\ C_1'y_1' + C_2'y_2' = Q(x) \end{cases}$ (desna strana $Q$ ide samo u poslednju jednačinu!)
Integrali: $C_1(x) = \int C_1'\,dx + A$ , $\;C_2(x) = \int C_2'\,dx + B$ .
$y = C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2$ — konstante $A, B$ ostaju unutra (one nose „opštost” rešenja).

Rešen primer (zadatak 2 sa vežbi)

Postavka: $y'' + y = \dfrac{1}{\sin x}$ ; poznato $y_1 = \cos x$ , $y_2 = \sin x$ .

Sistem:

$\begin{cases} C_1'\cos x + C_2'\sin x = 0 \quad /\cdot\sin x\\ -C_1'\sin x + C_2'\cos x = \frac{1}{\sin x} \quad /\cdot\cos x \end{cases}$

Sabiranjem (koristi $\sin^2 + \cos^2 = 1$ ): $C_2' = \frac{\cos x}{\sin x}$ , pa iz prve jednačine $C_1' = -1$ .

$C_1 = -x + A, \qquad C_2 = \int\frac{\cos x}{\sin x}dx \overset{t = \sin x}{=} \ln|\sin x| + B$

$y = (A - x)\cos x + \left(\ln|\sin x| + B\right)\sin x$

3.4 Svi zadaci sa 3. vežbi — vežbaj sam

Zadatak 1. $y'' + 3y' + 2y = \dfrac{1}{e^x+1}$ , poznato $y_1 = e^{-x}$ , $y_2 = e^{-2x}$ · varijacija konstanti

Prikaži rešenje

Sistem: $C_1'e^{-x} + C_2'e^{-2x} = 0$ ; $-C_1'e^{-x} - 2C_2'e^{-2x} = \frac{1}{e^x+1}$ . Sabiranjem: $C_2' = -\frac{e^{2x}}{e^x+1}$ , pa $C_1' = \frac{e^x}{e^x+1}$ .

Integracija (smena $t = 1 + e^x$ ): $C_1 = \ln(1+e^x) + A$ ; $C_2 = -\int\frac{e^{2x}}{1+e^x}dx = -\int\frac{t-1}{t}dt = \ln(1+e^x) - (1+e^x) + B$ .

$y = \big(\ln(1+e^x) + A\big)e^{-x} + \big(\ln(1+e^x) - 1 - e^x + B\big)e^{-2x}$

Napomena uz beleške

U beleškama je kod $C_2$ ispao minus, pa je zapisano $C_2 = 1 + e^x - \ln(1+e^x) + B$ . Proverom uvrštavanjem, ispravan je oblik sa minusom (gore). Na testu bi te ova greška koštala — uvek uvrsti nazad bar $y_p$ deo!

Zadatak 2. $y'' + y = \dfrac{1}{\sin x}$ , $y_1 = \cos x$ , $y_2 = \sin x$ · varijacija konstanti ↗ trig. identiteti

Prikaži rešenje

Tražimo $y = C_1(x)\cos x + C_2(x)\sin x$ . Sistem (desna strana samo u drugoj jednačini!):

$\begin{cases} C_1'\cos x + C_2'\sin x = 0 \quad/\cdot\sin x\\ -C_1'\sin x + C_2'\cos x = \frac{1}{\sin x} \quad/\cdot\cos x\end{cases}$

Saberi (koristi $\sin^2x + \cos^2x = 1$ ): $\;C_2' = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ . Iz prve jednačine: $C_1'\cos x = -\frac{\cos x}{\sin x}\sin x = -\cos x$ , pa $C_1' = -1$ .

Integracija: $C_1 = -x + A$ ; $\;C_2 = \int\frac{\cos x}{\sin x}dx \overset{t = \sin x}{=} \ln|\sin x| + B$ (↗ smena).

$y = (A-x)\cos x + (\ln|\sin x| + B)\sin x$

Zadatak 3. $y'' + 3y' - 4y = 0$ · KJ: realni prosti koreni ↗ kvadratna jednačina

Prikaži rešenje

KJ ( $y^{(k)}\to r^k$ ): $\;r^2 + 3r - 4 = 0$ :

$r_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2} = \frac{-3\pm5}{2} \;\Longrightarrow\; r_1 = 1,\; r_2 = -4 \;(\text{realni, prosti})$

Svakom prostom realnom korenu odgovara $e^{rx}$ :

$y = C_1e^x + C_2e^{-4x}$

Zadatak 4. $y^{(4)} - 16y = 0$ · KJ 4. stepena — faktorizacija

Prikaži rešenje

KJ: $r^4 - 16 = 0$ . Razlika kvadrata dvaput (↗ faktorizacije):

$r^4 - 16 = (r^2-4)(r^2+4) = (r-2)(r+2)(r^2+4) = 0$

Koreni: $r_1 = -2$ , $r_2 = 2$ (realni), i iz $r^2 = -4$ : $r_{3,4} = \pm2i$ , tj. $\alpha = 0$ , $\beta = 2$ → rešenja $e^{0x}\cos2x = \cos2x$ i $\sin2x$ :

$y = C_1e^{-2x} + C_2e^{2x} + C_3\cos 2x + C_4\sin 2x$

(4. red ⇒ tačno 4 konstante ✓)

Zadatak 5. $y'' - 6y' + 13y = 0$ · KJ: kompleksni koreni

Prikaži rešenje

KJ: $r^2 - 6r + 13 = 0$ :

$r_{1,2} = \frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2} = \frac{6\pm\sqrt{-16}}{2} = \frac{6\pm4i}{2} = 3\pm2i \;\Longrightarrow\; \alpha = 3,\ \beta = 2$

Paru $\alpha\pm i\beta$ odgovaraju $e^{\alpha x}\cos\beta x$ i $e^{\alpha x}\sin\beta x$ :

$y = e^{3x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$

Zadatak 6. $y''' - 6y'' + 12y' - 8y = 0$ · KJ: trostruki koren

Prikaži rešenje

KJ: $r^3 - 6r^2 + 12r - 8 = 0$ . Prepoznaj kub binoma (↗ faktorizacije): $(r-2)^3 = r^3 - 6r^2 + 12r - 8$ :

$(r-2)^3 = 0 \;\Longrightarrow\; r = 2 \text{ trostruki } (p = 3)$

Korenu višestrukosti 3 odgovaraju $e^{2x}, xe^{2x}, x^2e^{2x}$ :

$y = (C_1 + C_2x + C_3x^2)e^{2x}$

Zadatak 7. $y'' - 4y = 4e^{-2x}$ · rezonanca

Prikaži rešenje

Homogena: KJ $r^2 - 4 = 0 \Rightarrow r = \pm2$ , pa $y_h = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$ .

Oblik $y_p$ : $Q = 4e^{-2x}$ : oblik 1 sa $a = -2$ , $m = 0$ . Ali $a = -2$ jeste koren KJ ( $p = 1$ ) → dodatni faktor $x$ :

$y_p = Axe^{-2x}$

Uvrsti ( $y_p' = Ae^{-2x}(1-2x)$ , $y_p'' = Ae^{-2x}(4x - 4)$ ):

$Ae^{-2x}(4x-4) - 4Axe^{-2x} = 4e^{-2x} \;\Longrightarrow\; -4A = 4 \;\Longrightarrow\; A = -1$

$y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} - xe^{-2x}$

(Da si zaboravio faktor $x$ : uvrštavanjem $Ae^{-2x}$ dobio bi $0 = 4e^{-2x}$ — nemoguće. To je signal rezonance!)

Zadatak 8. $y''' - 3y'' + 2y' = 2x + 3$

Prikaži rešenje

KJ: $r(r-1)(r-2) = 0 \Rightarrow r = 0, 1, 2$ ; $y_h = C_1 + C_2e^{2x} + C_3e^x$ .

$Q = e^{0x}(2x+3)$ : $a = 0$ jeste koren ( $p=1$ ) → $y_p = (Ax+B)x = Ax^2 + Bx$ .

Uvrsti ( $y_p' = 2Ax + B$ , $y_p'' = 2A$ , $y_p''' = 0$ ): $-6A + 4Ax + 2B = 2x + 3 \Rightarrow A = \frac12$ , $B = 3$ .

$y = C_1 + C_2e^{2x} + C_3e^x + \frac{x^2}{2} + 3x$

Zadatak 9. $y'' - 6y' + 9y = 25e^x\sin x$ · oblik 2, bez rezonance

Prikaži rešenje

Homogena: KJ $(r-3)^2 = 0 \Rightarrow r = 3$ dvostruki → $y_h = (C_1 + C_2x)e^{3x}$ .

Oblik $y_p$ : $Q = 25e^x\sin x$ : oblik 2 sa $\alpha = 1$ , $\beta = 1$ ; broj $1 + i$ nije koren KJ → bez faktora $x$ , ali obavezno i $\cos$ i $\sin$ :

$y_p = e^x(A\cos x + B\sin x)$

Izvodi (grupiši uz $\cos$ / $\sin$ — uredno!):

$y_p' = e^x\big((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\big), \qquad y_p'' = e^x\big(2B\cos x - 2A\sin x\big)$

Uvrsti u $y'' - 6y' + 9y$ , podeli sa $e^x$ , izjednači koeficijente uz $\cos x$ i $\sin x$ :

$\begin{cases}2B - 6(A+B) + 9A = 0\\ -2A - 6(B-A) + 9B = 25\end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases}3A - 4B = 0\\ 4A + 3B = 25\end{cases} \;\Longrightarrow\; A = 4,\; B = 3$

$y = (C_1 + C_2x)e^{3x} + e^x(4\cos x + 3\sin x)$

(Primeti: u $Q$ nema kosinusa, a $A = 4 \neq 0$ — zato $y_p$ uvek sadrži oba!)

Zadatak 10. $y'' + 2y' + 5y = e^{-x}\cos 2x$ · rezonanca sa kompleksnim korenom

Prikaži rešenje

KJ: $r^2 + 2r + 5 = 0 \Rightarrow r = -1 \pm 2i$ ; $y_h = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ .

$Q$ : $\alpha + i\beta = -1 + 2i$ jeste koren ( $p = 1$ ) → $y_p = xe^{-x}(A\cos 2x + B\sin 2x)$ .

Računom (izvodi na vežbama ostavljeni „ZA VEŽBU”): $A = 0$ , $B = \frac14$ .

$y = e^{-x}\left(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \frac{x}{4}\sin 2x\right)$

Zadatak 11. $y'' - 3y' = e^{2x}(x + \cos x)$ · superpozicija

Prikaži rešenje

Desna strana je zbir dva tipa: $xe^{2x}$ (oblik 1) i $e^{2x}\cos x$ (oblik 2) → $y = y_h + y_{p_1} + y_{p_2}$ .

KJ: $r(r-3) = 0 \Rightarrow y_h = C_1 + C_2e^{3x}$ . Ni $2$ ni $2+i$ nisu koreni KJ.

$y_{p_1} = e^{2x}(Ax+B)$ : uvrštavanjem $-2Ax + A - 2B = x \Rightarrow A = -\frac12$ , $B = -\frac14$ , tj. $y_{p_1} = -\frac{e^{2x}}{4}(2x+1)$ .

$y_{p_2} = e^{2x}(C\cos x + D\sin x)$ : sistem $-3C + D = 1$ , $-C - 3D = 0 \Rightarrow D = \frac{1}{10}$ , $C = -\frac{3}{10}$ .

$y = C_1 + C_2e^{3x} - \frac{e^{2x}}{4}(2x+1) + e^{2x}\left(-\frac{3}{10}\cos x + \frac{1}{10}\sin x\right)$

3.5 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. $y'' - 5y' + 6y = 0$

Prikaži rešenje

KJ: $r^2 - 5r + 6 = 0 \Rightarrow r_{1,2} = \frac{5\pm1}{2} = 3, 2$ (Vietove: zbir 5, proizvod 6).

$y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$

Dodatni 2. $y'' + 4y = 0$

Prikaži rešenje

KJ: $r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm2i$ ( $\alpha = 0$ , $\beta = 2$ ).

$y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$

Dodatni 3. $y'' - 2y' + y = 0$

Prikaži rešenje

KJ: $r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0 \Rightarrow r = 1$ dvostruki.

$y = (C_1 + C_2x)e^{x}$

Dodatni 4. $y'' + y = x^2 + 1$ · oblik 1 sa $a = 0$ , bez rezonance

Prikaži rešenje

KJ: $r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm i$ ; $y_h = C_1\cos x + C_2\sin x$ . Broj $a = 0$ nije koren KJ → $y_p = Ax^2 + Bx + C$ (pun polinom!).

Uvrsti ( $y_p'' = 2A$ ): $\;2A + Ax^2 + Bx + C = x^2 + 1 \Rightarrow A = 1$ , $B = 0$ , $C = 1 - 2A = -1$ .

$y = C_1\cos x + C_2\sin x + x^2 - 1$

Dodatni 5. $y'' - y = e^x$ · rezonanca

Prikaži rešenje

KJ: $r^2 - 1 = 0 \Rightarrow r = \pm1$ ; $y_h = C_1e^x + C_2e^{-x}$ . Broj $a = 1$ jeste koren ( $p = 1$ ) → $y_p = Axe^x$ .

$y_p'' = A(2 + x)e^x$ ; uvrsti: $A(2+x)e^x - Axe^x = 2Ae^x = e^x \Rightarrow A = \frac12$ .

$y = C_1e^x + C_2e^{-x} + \frac{x}{2}e^x$

Dodatni 6. $y'' + y = \sin x$ · rezonanca sa kompleksnim korenom

Prikaži rešenje

KJ: $r = \pm i$ ; $\alpha + i\beta = 0 + 1i$ jeste koren → $y_p = x(A\cos x + B\sin x)$ .

Izvodi: $y_p'' = 2(-A\sin x + B\cos x) - x(A\cos x + B\sin x)$ . Uvrsti u $y'' + y = \sin x$ (članovi sa $x$ se potiru):

$-2A\sin x + 2B\cos x = \sin x \;\Longrightarrow\; A = -\frac12,\; B = 0$

$y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{x}{2}\cos x$

(Fizički smisao rezonance: amplituda raste sa $x$ !)

4. Brojni i funkcionalni redovi

Red $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergira ako niz parcijalnih suma $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ ima konačnu granicu. Na vežbama se ne računa suma, nego se ispituje konvergencija kriterijumima. Prvo pitanje uvek: da li opšti član teži nuli? Ako $a_n \not\to 0$ , red odmah divergira.

4.1 Dva reda koja moraš znati napamet

Red	Ponašanje
Hiperharmonijski $\displaystyle\sum \frac{1}{n^{\alpha}}$	konvergira za $\alpha > 1$ ; divergira za $\alpha \le 1$ (specijalno: harmonijski $\sum\frac1n$ divergira)
Geometrijski $\displaystyle\sum q^n$	konvergira za $\|q\| < 1$ ; divergira za $\|q\| \ge 1$

Ova dva reda su „lenjiri” — sve ostalo se poredi sa njima.

4.2 Kriterijumi za redove sa nenegativnim članovima

Prvi poredbeni kriterijum (nejednakost)

Ako je $0 \le a_n \le b_n$ (od nekog $n_0$ ): iz konvergencije $\sum b_n$ sledi konvergencija $\sum a_n$ ; iz divergencije $\sum a_n$ sledi divergencija $\sum b_n$ . („Manji od konvergentnog konvergira; veći od divergentnog divergira.”)

Drugi poredbeni kriterijum (limes količnika)

Ako je $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \ell$ i $\ell \in (0, \infty)$ — redovi $\sum a_n$ i $\sum b_n$ su ekvikonvergentni (oba konvergiraju ili oba divergiraju). Poredbeni $b_n$ biraš kao „glavni deo” od $a_n$ (najviši stepeni). Korisno: $\sin\frac{1}{3^n} \sim \frac{1}{3^n}$ , $\ln(1+x_n) \sim x_n$ kad $x_n \to 0$ .

Dalamberov (količnički) kriterijum — kad ima n!, aⁿ, proizvoda

$\ell = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}: \qquad \ell < 1 \Rightarrow \text{konvergira}; \quad \ell > 1 \Rightarrow \text{divergira}; \quad \ell = 1 \Rightarrow \text{ne daje odgovor}$

Košijev koreni kriterijum — kad je opšti član oblika (izraz)ⁿ

$\ell = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}: \qquad \ell < 1 \Rightarrow \text{konvergira}; \quad \ell > 1 \Rightarrow \text{divergira}; \quad \ell = 1 \Rightarrow \text{ne daje odgovor}$

Standardni limesi koji ovde stalno trebaju: $\left(1+\frac1n\right)^n \to e$ , $\;\left(1-\frac1n\right)^n \to e^{-1}$ , $\;\sqrt[n]{n} \to 1$ , $\;\sqrt[n]{2n-1}\to 1$ .

Košijev integralni kriterijum — kad se aₙ = f(n) lako integrali

Ako je $f$ pozitivna, neprekidna i nerastuća na $[n_0, \infty)$ : red $\sum f(n)$ i integral $\int_{n_0}^{\infty} f(x)\,dx$ ekvikonvergiraju. Tipično za $\sum\frac{1}{n\ln^{\alpha} n}$ (smena $t = \ln x$ ).

Rešen primer (A.3.b sa vežbi — Dalamber sa brojem e)

Postavka: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n n!}{n^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{3^n n!} = 3\cdot\frac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{n+1}} = 3\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{3}{\left(1+\frac1n\right)^n} \longrightarrow \frac{3}{e} > 1$

Red divergira. (Skrati se $3^n$ , $n!$ i jedan faktor $(n+1)$ ; prepoznaj $e$ !)

Rešen primer (A.5 sa vežbi — integralni kriterijum)

Postavka: $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}$

$f(x) = \frac{1}{x\ln^2 x}$ je pozitivna, neprekidna, nerastuća na $[2,\infty)$ . Smena $t = \ln x$ , $dt = \frac{dx}{x}$ :

$\int_2^{\infty}\frac{dx}{x\ln^2 x} = \int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t^2} = \left.-\frac1t\right|_{\ln 2}^{\infty} = \frac{1}{\ln 2} < \infty$

Integral konvergira ⇒ red konvergira. (Vrednost $\frac{1}{\ln 2}$ nije suma reda — samo dokaz konvergencije!)

4.3 Alternativni redovi — apsolutna i uslovna konvergencija

Red $\sum(-1)^{n-1}a_n$ ( $a_n > 0$ ) je alternativan. Ključni pojmovi:

Apsolutno konvergira ako $\sum|a_n|$ konvergira (tada konvergira i sam red).
Uslovno konvergira ako sam red konvergira, ali $\sum|a_n|$ divergira.

Recept — ispitivanje uslovne/apsolutne konvergencije

Ispitaj $\sum|a_n|$ (poredbeni/Dalamber/Koši/integralni). Ako konvergira → apsolutna konvergencija, kraj.
Ako ∑|an|\sum|a_n| divergira → primeni Lajbnicov kriterijum na alternativni red:
- niz $(a_n)$ je opadajući, i
- $\lim a_n = 0$ ⇒ red konvergira → uslovna konvergencija.
Monotonost proveravaš: znakom razlike $a_{n+1} - a_n < 0$ , ili preko funkcije $f(x)$ sa $f(n) = a_n$ i znaka $f'(x)$ (dovoljno je opadanje od nekog $n_0$ — konačno mnogo članova ne utiče!).

Rešen primer (B.1.a sa vežbi)

Postavka: ispitati uslovnu i apsolutnu konvergenciju $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{n(n+1)}$

Apsolutna? $\sum\frac{2n+1}{n(n+1)}$ poredimo sa $\sum\frac1n$ : $\lim\frac{(2n+1)/(n(n+1))}{1/n} = \lim\frac{2n^2+n}{n^2+n} = 2 \neq 0$ , a $\sum\frac1n$ divergira ⇒ divergira. Nije apsolutna.

Lajbnic? $a_n = \frac{2n+1}{n(n+1)}$ : razlika $a_{n+1} - a_n = -\frac{2}{n(n+2)} < 0$ ⇒ opada; $\lim a_n = 0$ . ✓

Zaključak: red uslovno konvergira.

4.4 Funkcionalni redovi i uniformna konvergencija

Kod $\sum f_n(x)$ : oblast konvergencije $D$ = skup svih $x$ za koje brojni red $\sum f_n(x_0)$ konvergira (fiksiraš $x_0$ pa ispituješ kao običan red).

Vajerštrasov kriterijum — recept za uniformnu konvergenciju

Nađi majorantu: broj ana_n (nezavisan od xx!) takav da |fn(x)|≤an|f_n(x)| \le a_n za sve x∈Dx \in D.
- Gruba ocena: $|\sin| \le 1$ , imenilac najmanji kad…, monotonost…
- Ili precizno: $a_n = \max_x|f_n(x)|$ — nađi maksimum preko izvoda $f_n'(x)$ .
Ako $\sum a_n$ konvergira ⇒ red uniformno konvergira na $D$ .

Rešen primer (B.5.b sa vežbi — majoranta preko izvoda)

Postavka: pokazati da $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{1+n^5x^2}$ uniformno konvergira na $\mathbb{R}$ .

Funkcije su neparne, dovoljno je $x > 0$ . Maksimum preko izvoda:

$f_n'(x) = \frac{n(1 - n^5x^2)}{(1+n^5x^2)^2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{n^{5/2}}$

$|f_n(x)| \le f_n\!\left(\frac{1}{n^{5/2}}\right) = \frac{n\cdot n^{-5/2}}{1+1} = \frac{1}{2n^{3/2}}$

Red $\sum\frac{1}{2n^{3/2}}$ konvergira ( $\alpha = \frac32 > 1$ ) ⇒ po Vajerštrasu uniformna konvergencija na $\mathbb{R}$ . ∎

4.5 Svi zadaci sa 4. vežbi — vežbaj sam

A.1 — prvi poredbeni: a) $\sum\frac{\ln n}{n}$ b) $\sum\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}}$ v) $\sum\frac{1}{n!}$

Prikaži rešenje

a) $\sum\frac{\ln n}{n}$ . Za $n \ge 3$ je $\ln n > 1$ (jer $e < 3$ ), pa važi:

$\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}, \quad n\ge3$

Red $\sum\frac1n$ (harmonijski, $\alpha = 1$ ) divergira, a naš red je veći od divergentnog → po 1. poredbenom (2°) divergira.

b) $\sum\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}}$ . Povećaj imenilac izbacivanjem „ $+1$ ” (time se razlomak povećava… pažnja: izbacivanjem $+1$ imenilac se smanjuje, razlomak povećava — zato ide ovako):

$\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}} < \frac{1}{\sqrt{n\cdot n^2}} = \frac{1}{n^{3/2}}$

Majoranta $\sum\frac{1}{n^{3/2}}$ konvergira ( $\alpha = \frac32 > 1$ ) → po 1. poredbenom (1°) konvergira.

v) $\sum\frac{1}{n!}$ . U $n! = n(n-1)\cdots2\cdot1$ svaki od prvih $n-1$ faktora je $\ge 2$ :

$\frac{1}{n!} \le \frac{1}{2^{n-1}}$

$\sum\frac{1}{2^{n-1}}$ je geometrijski red sa $q = \frac12 < 1$ → konvergira → i naš red konvergira.

A.2 — drugi poredbeni: a) $\sum\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}$ b) $\sum 2^n\sin\frac{1}{3^n}$ v) $\sum\frac{1}{(2n-1)^2}$

Prikaži rešenje

a) Glavni deo od $a_n = \frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}$ je $\frac{1}{\sqrt{n^2}} = \frac1n$ → poredi sa $b_n = \frac1n$ :

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim\sqrt{\frac{n^2}{n^2+3n+2}} = \lim\sqrt{\frac{1}{1+\frac3n+\frac{2}{n^2}}} = 1 \in (0,\infty)$

Ekvikonvergentan sa $\sum\frac1n$ koji divergira ⇒ divergira.

b) Kad $n\to\infty$ : $\frac{1}{3^n}\to0$ , pa $\sin\frac{1}{3^n} \sim \frac{1}{3^n}$ (↗ poznati limesi). Poredi sa $b_n = \frac{2^n}{3^n}$ :

$\lim\frac{2^n\sin\frac{1}{3^n}}{2^n\cdot\frac{1}{3^n}} = \lim\frac{\sin\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{3^n}} = 1$

$\sum(\frac23)^n$ je geometrijski, $q = \frac23 < 1$ → konvergira ⇒ konvergira.

v) Poredi sa $\frac{1}{n^2}$ :

$\lim\frac{\frac{1}{(2n-1)^2}}{\frac{1}{n^2}} = \lim\frac{n^2}{4n^2 - 4n + 1} = \frac14 \in (0,\infty)$

$\sum\frac{1}{n^2}$ konvergira ⇒ konvergira.

A.3 — Dalamber: a) $\sum ne^{-n}$ b) $\sum\frac{3^nn!}{n^n}$ v) $\sum\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{3\cdot6\cdot9\cdots3n}$ ↗ broj e

Prikaži rešenje

a) Količnik:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)e^{-(n+1)}}{ne^{-n}} = \frac{n+1}{n}\cdot e^{-1} \longrightarrow \frac1e < 1 \;\Rightarrow\; \textbf{konvergira}$

b) (ceo račun u primeru iznad) Skrati $3^n$ , $n!$ , jedan faktor $(n+1)$ ; ostane $3\big(\frac{n}{n+1}\big)^n = \frac{3}{(1+\frac1n)^n} \to \frac3e > 1$ ⇒ divergira.

v) Kod proizvoda: $a_{n+1}$ ima iste faktore kao $a_n$ plus po jedan novi u brojiocu ( $2n+1$ ) i imeniocu ( $3n+3$ ). Sve zajedničko se skrati:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{3n+3} \longrightarrow \frac23 < 1 \;\Rightarrow\; \textbf{konvergira}$

A.4 — Košijev koreni: a) $\sum\left(\frac{2n+3}{n+1}\right)^n$ b) $\sum\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ v) $\sum\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}$

Prikaži rešenje

a) Koren „skida” stepen $n$ :

$\sqrt[n]{a_n} = \frac{2n+3}{n+1} = \frac{2+\frac3n}{1+\frac1n} \longrightarrow 2 > 1 \;\Rightarrow\; \textbf{divergira}$

b) Koren skida jedan $n$ iz $n^2$ — ostaje stepen $n$ :

$\sqrt[n]{a_n} = \Big(\frac{n}{n+1}\Big)^n = \frac{1}{\big(1+\frac1n\big)^n} \longrightarrow \frac1e < 1 \;\Rightarrow\; \textbf{konvergira}$

v) $\sqrt[n]{a_n} = \big(\frac{n-1}{n+1}\big)^{n-1}$ . Rastavi $(\cdot)^{n-1} = (\cdot)^{-1}(\cdot)^n$ i podeli brojilac/imenilac sa $n$ :

$\Big(\frac{1-\frac1n}{1+\frac1n}\Big)^{n-1} = \frac{\big(1-\frac1n\big)^{-1}}{\big(1+\frac1n\big)^{-1}}\cdot\frac{\big(1-\frac1n\big)^{n}}{\big(1+\frac1n\big)^{n}} \longrightarrow 1\cdot\frac{e^{-1}}{e} = \frac{1}{e^2} < 1 \;\Rightarrow\; \textbf{konvergira}$

(faktori sa stepenom $-1$ teže 1 jer $\frac1n\to0$ )

A.5 — integralni: $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}$ — rešen gore kao primer (konvergira).

A.6 — za samostalni rad (dokaži konvergenciju): a) $\sum\sin\frac{\pi}{2^n}$ ; b) $\sum\frac{1}{n^2-4n+5}$ ; v) $\sum\frac{(n+1)^3}{(2n-1)!}$ ; g) $\sum n^2\sin\frac{\pi}{2^n}$ ; d) $\sum 3^{-n}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}$ ; đ) $\sum\frac{e^{-\sqrt n}}{\sqrt n}$

Uputstva

2. poredbeni sa $\frac{\pi}{2^n}$ ; b) 2. poredbeni sa $\frac{1}{n^2}$ ; v) Dalamber; g) Dalamber (ili 2. poredbeni sa $\frac{n^2\pi}{2^n}$ + Dalamber); d) Košijev koreni: $\sqrt[n]{a_n} = \frac13\left(1+\frac1n\right)^n \to \frac{e}{3} < 1$ ; đ) integralni: $\int\frac{e^{-\sqrt x}}{\sqrt x}dx = -2e^{-\sqrt x}$ (smena $t = \sqrt x$ ).

B.1 — uslovna/apsolutna: a) $\sum(-1)^n\frac{2n+1}{n(n+1)}$ b) $\sum(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n+1)}$ v) $\sum(-1)^n\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$

Prikaži rešenje

a) uslovno konvergira (rešen gore kao primer). b) $\frac{1}{\ln(n+1)} > \frac{1}{n+1}$ , a $\sum\frac{1}{n+1}$ divergira ⇒ nije apsolutno; Lajbnic: $\ln$ raste pa $a_n$ opada, $a_n \to 0$ ⇒ uslovno konvergira. v) Košijev na apsolutni red: $\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac12 < 1$ ⇒ apsolutno konvergira.

B.2 — Lajbnic: a) $\sum(-1)^n\frac{n}{n^2+1}$ b) $\sum(-1)^n\frac{(n-1)^2}{(n+1)^3}$

Prikaži rešenje

a) $a_{n+1}-a_n = \frac{-n^2-n+1}{((n+1)^2+1)(n^2+1)} < 0$ za $n \ge 1$ (brojilac: parabola nadole sa nulom $\frac{\sqrt5-1}{2} < 1$ ); $a_n \to 0$ ⇒ konvergira. b) $f(x) = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^3}$ , $f'(x) = -\frac{(x-1)(x-5)}{(x+1)^4} < 0$ za $x > 5$ — opada od $n = 6$ (konačno mnogo članova ne smeta); $a_n \to 0$ ⇒ konvergira.

B.3 — uslovna/apsolutna (samo odgovori u beleškama): a) $\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}$ b) $\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n!}$ v) $\sum(-1)^{n+1}\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}$ g) $\sum(-1)^{n+1}\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}$

Prikaži rešenje

a) uslovno ( $\sum\frac{1}{2n-1}$ divergira, Lajbnic važi); b) apsolutno ( $\sum\frac{1}{n!}$ konvergira); v) uslovno (apsolutni divergira po integralnom); g) apsolutno (apsolutni konvergira po integralnom, kao A.5).

B.4 — oblast konvergencije: $\sum\frac{1}{n^2+x^2}$

Prikaži rešenje

Fiksiraj $x_0$ : $\frac{1}{n^2+x_0^2} < \frac{1}{n^2}$ ⇒ konvergira za svako $x_0$ (1. poredbeni). $D = \mathbb{R}$

B.5 — Vajerštras (uniformna konvergencija): a) $\sum\frac{x}{(1+x^2)n^2}$ , $x>0$ b) $\sum\frac{nx}{1+n^5x^2}$ , $x\in\mathbb{R}$ v) $\sum\frac{\sin nx}{\sqrt{n^3+x^2}}$ , $x\in\mathbb{R}$ g) $\sum\ln\left(1+\frac{x}{3^n}\right)$ , $0<x<a$

Prikaži rešenje

a) $\frac{x}{1+x^2} \le \frac12$ (maksimum u $x=1$ preko izvoda) ⇒ majoranta $\frac{1}{2n^2}$ ⇒ uniformno KV. b) majoranta $\frac{1}{2n^{3/2}}$ (rešen gore kao primer) ⇒ uniformno KV. v) $|\sin nx| \le 1$ i imenilac najmanji za $x=0$ ⇒ majoranta $\frac{1}{n^{3/2}}$ ⇒ uniformno KV. g) $\ln(1+\frac{x}{3^n}) < \ln(1+\frac{a}{3^n}) \sim \frac{a}{3^n}$ (2. poredbeni, geometrijski) ⇒ uniformno KV.

B.6 — za samostalni rad (Vajerštras): a) $\sum x^2e^{-nx}$ , $x\ge0$ ; b) $\sum\frac{\sin nx}{2^n}$ ; v) $\sum\sin\frac{x}{1+n^4x^2}$

Uputstva

maksimum $f_n(x) = x^2e^{-nx}$ u $x = \frac2n$ : majoranta $\frac{4}{e^2n^2}$ ; b) $\left|\frac{\sin nx}{2^n}\right| \le \frac{1}{2^n}$ — geometrijska majoranta; v) $|\sin t| \le |t|$ pa $|f_n| \le \frac{|x|}{1+n^4x^2} \le \frac{1}{2n^2}$ (maksimum u $|x| = \frac{1}{n^2}$ ).

4.6 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n^3+1}$ · drugi poredbeni

Prikaži rešenje

Glavni deo: $\frac{n}{2n^3} = \frac{1}{2n^2}$ → poredi sa $b_n = \frac{1}{n^2}$ :

$\lim\frac{\frac{n}{2n^3+1}}{\frac{1}{n^2}} = \lim\frac{n^3}{2n^3+1} = \frac12 \in (0,\infty)$

$\sum\frac{1}{n^2}$ konvergira ⇒ konvergira

Dodatni 2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}$ · Dalamber

Prikaži rešenje

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \longrightarrow \frac14 < 1$

konvergira ( $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$ ; $(2n+2)! = (2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!$ )

Dodatni 3. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\frac{3n}{3n+1}\Big)^{n^2}$ · Košijev koreni

Prikaži rešenje

$\sqrt[n]{a_n} = \Big(\frac{3n}{3n+1}\Big)^n = \frac{1}{\big(1+\frac{1}{3n}\big)^n} = \frac{1}{\Big[\big(1+\frac{1}{3n}\big)^{3n}\Big]^{1/3}} \longrightarrow \frac{1}{e^{1/3}} < 1$

konvergira

Dodatni 4. $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$ · integralni (uporedi sa A.5!)

Prikaži rešenje

$f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ pozitivna, neprekidna, nerastuća. Smena $t = \ln x$ :

$\int_2^{\infty}\frac{dx}{x\ln x} = \int_{\ln2}^{\infty}\frac{dt}{t} = \ln t\Big|_{\ln2}^{\infty} = +\infty$

divergira — uporedi: $\sum\frac{1}{n\ln^2n}$ konvergira (A.5), a $\sum\frac{1}{n\ln n}$ divergira. Granica je u stepenu logaritma!

Dodatni 5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ · apsolutna/uslovna

Prikaži rešenje

Apsolutni red $\sum\frac{1}{\sqrt n}$ divergira ( $\alpha = \frac12 \le 1$ ) → nije apsolutna. Lajbnic: $\frac{1}{\sqrt n}$ opada i teži 0 ✓

uslovno konvergira

Dodatni 6. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n^2+1}{3n^2+2}$ · zamka!

Prikaži rešenje

Proveri potreban uslov: $\lim\frac{2n^2+1}{3n^2+2} = \frac23 \neq 0$ — opšti član ne teži nuli (osciluje između $\approx\pm\frac23$ ).

divergira — Lajbnic ovde uopšte ne dolazi u obzir; prvo UVEK proveri $a_n \to 0$ !

Dodatni 7. Pokazati da $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^3}$ uniformno konvergira na $\mathbb{R}$ · Vajerštras

Prikaži rešenje

$\Big|\frac{\cos nx}{n^3}\Big| \le \frac{1}{n^3}$ za sve $x$ (jer $|\cos|\le1$ , ↗ trig); $\sum\frac{1}{n^3}$ konvergira ( $\alpha = 3$ ).

uniformno konvergira na $\mathbb{R}$ po Vajerštrasovom kriterijumu ∎

5. Stepeni i Furijeovi redovi

5.1 Stepeni redovi — poluprečnik i interval konvergencije

Stepeni red: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ (ili po $(x-x_0)^n$ — smena $t = x - x_0$ ga svodi na prvi oblik).

Za svaki stepeni red postoji poluprečnik konvergencije $R$ : red konvergira za $|x| < R$ , divergira za $|x| > R$ , a na krajevima $x = \pm R$ — mora se ispitati posebno. Dakle $(-R, R) \subseteq D \subseteq [-R, R]$ .

Recept — interval konvergencije

Nađi RR jednim od dva načina:
- Dalamber: $\;R = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
- Koši: $\;\ell = \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ , pa $R = \dfrac{1}{\ell}$
Ako je red po $(x - x_0)^n$ : konvergira za $x_0 - R < x < x_0 + R$ .
Ispitaj krajeve: uvrsti $x = x_0 \pm R$ — dobiješ brojni red; ispituj redom: da li opšti član teži nuli → Lajbnic (za alternativni) → poredbeni.
Zapiši $D$ sa pravilnim zagradama (otvorena gde divergira, zatvorena gde konvergira).

Pazi

$R = \lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ — obrati pažnju: kod poluprečnika je količnik obrnut u odnosu na Dalamberov kriterijum za redove ( $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ , ne $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ).
$a_n$ je koeficijent, bez $x^n$ !
Krajevi se uvek ispituju posebno — tu se najviše boduje.
Specijalni slučajevi: $R = \infty \Rightarrow D = \mathbb{R}$ (ceo skup); $R = 0 \Rightarrow D = \{x_0\}$ (samo jedna tačka).

Rešen primer (zadatak 2.d sa vežbi)

Postavka: odrediti interval konvergencije reda $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n(2n-1)}(x-2)^n$

Poluprečnik (Koši): $\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{2\sqrt[n]{2n-1}} \to \frac12$ (jer $\sqrt[n]{2n-1} = e^{\frac{\ln(2n-1)}{n}} \to e^0 = 1$ ), pa $R = 2$ .

Konvergira za $-2 < x - 2 < 2$ , tj. $0 < x < 4$ . Krajevi:

$x = 0$ : $\sum(-1)^n\frac{(-2)^n}{2^n(2n-1)} = \sum\frac{1}{2n-1}$ — divergira (poredbeni sa $\sum\frac1n$ ).
$x = 4$ : $\sum\frac{(-1)^n}{2n-1}$ — konvergira po Lajbnicu.

$D = (0, 4]$

5.2 Furijeovi redovi

Za deo-po-deo neprekidnu funkciju $f$ na $[-\pi, \pi]$ , Furijeov red je

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos nx + b_n\sin nx\big)$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx \;(n \ge 0), \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx \;(n \ge 1)$

Na proizvoljnom intervalu $[-\ell, \ell]$ : argumenti postaju $\frac{n\pi x}{\ell}$ , a ispred integrala stoji $\frac{1}{\ell}$ :

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{\ell} + b_n\sin\frac{n\pi x}{\ell}\right), \qquad a_n = \frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}f\cos\frac{n\pi x}{\ell}dx,\quad b_n = \frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}f\sin\frac{n\pi x}{\ell}dx$

Parnost štedi pola posla

Integral neparne funkcije u simetričnim granicama je $0$ ; parne je $2\int_0^{\ell}$ . Pravila znaka: parna·parna = parna, parna·neparna = neparna, neparna·neparna = parna. Zato:

$f$ parna ⇒ svi $b_n = 0$ → kosinusni red; $\;a_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}f\cos\frac{n\pi x}{\ell}dx$
$f$ neparna ⇒ svi $a_n = 0$ → sinusni red; $\;b_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}f\sin\frac{n\pi x}{\ell}dx$

Recept — razvoj u Furijeov red

Skiciraj $f$ i njeno periodično produženje; odredi $\ell$ (polovina perioda).
Proveri parnost — možda je pola koeficijenata odmah nula.
Izračunaj $a_0$ (običan integral — bez kosinusa).
Izračunaj $a_n$ i/ili $b_n$ — po pravilu ide parcijalna integracija (polinom se diferencira, trig. funkcija integrali).
Uprosti koristeći: $\cos n\pi = (-1)^n$ , $\sin n\pi = 0$ , $\sin\frac{n\pi}{2} = 0$ (parno $n$ ) ili $(-1)^{k-1}$ (za $n = 2k-1$ ).
Ako preživljavaju samo neparni $n$ , preindeksiraj preko $n = 2k - 1$ .
Zapiši red; po potrebi uvrsti pogodno $x$ da izračunaš sumu brojnog reda.

Recept — razvoj SAMO po sinusima / SAMO po kosinusima na (0, ℓ)

Funkciju zadatu na $(0, \ell)$ produžiš na $(-\ell, \ell)$ :

po sinusima → produži neparno ( $\tilde f(-x) = -f(x)$ ) ⇒ $a_n = 0$ , $\;b_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}f\sin\frac{n\pi x}{\ell}dx$
po kosinusima → produži parno ( $\tilde f(-x) = f(x)$ ) ⇒ $b_n = 0$ , $\;a_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}f\cos\frac{n\pi x}{\ell}dx$

Rešen primer (Furije zadatak 1 sa vežbi — ceo tok + sume redova)

Postavka: $f(x) = x^2$ na $[-\pi, \pi]$ razviti u Furijeov red, pa naći $\sum\frac{1}{n^2}$ , $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ , $\sum\frac{1}{(2n-1)^2}$ .

$f$ je parna ⇒ $b_n = 0$ .

$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2dx = \frac{2\pi^2}{3}$

$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2\cos nx\,dx \overset{\text{2× p.i.}}{=} \frac{4}{\pi n^2}\,\pi\cos n\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}$

(parcijalna integracija dvaput: prvo $u = x^2$ , $dv = \cos nx\,dx$ ; pa $u = x$ , $dv = \sin nx\,dx$ )

$\boxed{\;x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx, \quad x\in[-\pi,\pi]\;}$

Sume redova — ubacivanje pogodnih tačaka:

$x = \pi$ : $\;\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{1}{n^2}$ (jer $(-1)^n\cos n\pi = 1$ ) ⇒ $\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
$x = 0$ : $\;0 = \frac{\pi^2}{3} - 4\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ ⇒ $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$
neparni članovi = svi − parni: $\sum\frac{1}{(2n-1)^2} = \sum\frac{1}{n^2} - \frac14\sum\frac{1}{n^2} = \frac34\cdot\frac{\pi^2}{6}$ ⇒ $\sum\frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$

5.3 Svi zadaci sa 5. vežbi — vežbaj sam

Zadatak S1. Odrediti poluprečnik konvergencije: a) $\sum(-1)^nn!\left(\frac{p}{n+1}\right)^nx^n$ b) $\sum\left(1+\frac1n\right)^{n^2}x^n$

Prikaži rešenje

a) Dalamber: $R = \lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \frac1p\lim\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} = \frac1p\lim\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$ ⇒ $R = \frac{e}{p}$ b) Koši: $\ell = \lim\sqrt[n]{(1+\frac1n)^{n^2}} = \lim(1+\frac1n)^n = e$ ⇒ $R = \frac1e$

Zadatak S2. Odrediti intervale konvergencije: a) $\sum\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{2n-1}x^n$ b) $\sum\frac{n!}{2^{n^2}}x^n$ v) $\sum n^n(x+3)^n$ g) $\sum(x-5)^n\sin\frac1n$ d) $\sum\frac{(-1)^n}{2^n(2n-1)}(x-2)^n$ đ) $\sum\frac{2^{n-1}}{(2n-1)^2\sqrt{3^{n-1}}}x^n$

Prikaži rešenje

a) Koši: $R = \lim\left(2+\frac1n\right)^{2-\frac1n} = 4$ ; na oba kraja opšti član ne teži nuli (npr. za $x=4$ : $\to \frac{2}{e} \neq 0$ ) ⇒ $D = (-4, 4)$

b) Dalamber: $R = \lim\frac{2^{2n+1}}{n+1} = +\infty$ ⇒ $D = (-\infty, +\infty)$

v) $R = \lim\frac{1}{\sqrt[n]{n^n}} = \lim\frac1n = 0$ ⇒ konvergira samo u $x + 3 = 0$ ⇒ $D = \{-3\}$

g) $R = \lim\left|\frac{\sin\frac1n}{\sin\frac{1}{n+1}}\right| = 1$ ( $\sin\frac1n \sim \frac1n$ ) ⇒ $4 < x < 6$ . Kraj $x=4$ : $\sum(-1)^n\sin\frac1n$ konvergira po Lajbnicu ( $\sin$ rastuća na $(0,1]$ pa $a_n$ opada); kraj $x=6$ : $\sum\sin\frac1n$ divergira (2. poredbeni sa $\sum\frac1n$ ) ⇒ $D = [4, 6)$

d) $D = (0, 4]$ — rešen gore kao primer.

đ) Dalamber: $R = \lim\frac{\sqrt3}{2}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^2 = \frac{\sqrt3}{2}$ . Oba kraja: $\sum\frac{(\pm1)^n\sqrt3/2}{(2n-1)^2}$ — apsolutno konvergira (poredbeni sa $\frac{1}{n^2}$ ) ⇒ $D = \left[-\frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt3}{2}\right]$

Zadatak F1. $f(x) = x^2$ na $[-\pi,\pi]$ → Furijeov red + sume — rešen gore kao primer.

Zadatak F2. $f(x) = \begin{cases}-\frac{x}{2}, & -1 \le x \le 0\\ 2x, & 0 \le x \le 1\end{cases}$ razviti u Furijeov red.

Prikaži rešenje

$\ell = 1$ ; funkcija nije ni parna ni neparna — računaju se svi koeficijenti (integrali po dva podintervala, parcijalna integracija):

$a_0 = \int_{-1}^{0}\left(-\frac{x}{2}\right)dx + \int_0^1 2x\,dx = \frac14 + 1 = \frac54$

$a_n = \frac{5}{2n^2\pi^2}\big((-1)^n - 1\big) \quad(\text{tj. } 0 \text{ za parno}, \; -\frac{5}{n^2\pi^2} \text{ za neparno } n), \qquad b_n = \frac{3(-1)^{n-1}}{2n\pi}$

$f(x) \sim \frac{5}{8} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2n^2\pi^2}\big((-1)^n-1\big)\cos n\pi x + \frac{3(-1)^{n-1}}{2n\pi}\sin n\pi x\right)$

U tačkama prekida periodičnog produženja ( $x = \pm 1$ ) red konvergira ka srednjoj vrednosti skoka: $\frac12\left(2 + \frac12\right) = \frac54$ .

Zadatak F3. $f(x) = x$ , $0 < x < 2$ , razviti: a) po sinusima b) po kosinusima

Prikaži rešenje

$\ell = 2$ (produženje na $(-2,2)$ , period 4).

a) neparno produženje (testera): $b_n = \int_0^2 x\sin\frac{n\pi x}{2}dx \overset{\text{p.i.}}{=} -\frac{4(-1)^n}{n\pi}$ :

$x = -\dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}\sin\dfrac{n\pi x}{2}$ , $\;0<x<2$

b) parno produženje (cik-cak): $a_0 = \int_0^2x\,dx = 2$ ; $a_n = \int_0^2x\cos\frac{n\pi x}{2}dx = \frac{4}{n^2\pi^2}\big((-1)^n - 1\big)$ — preživljavaju neparni:

$x = 1 - \dfrac{8}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2}\cos\dfrac{(2n-1)\pi x}{2}$ , $\;0<x<2$

Zadatak F4. $f(x) = \begin{cases}x, & 0\le x\le 1\\ 2-x, & 1\le x\le 2\end{cases}$ razviti po sinusima.

Prikaži rešenje

Neparno produženje (trougaoni talas, $\ell = 2$ ): $b_n = \int_0^1x\sin\frac{n\pi x}{2}dx + \int_1^2(2-x)\sin\frac{n\pi x}{2}dx = \frac{8}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}$ .

$\sin\frac{n\pi}{2} = 0$ za parne, $(-1)^{k-1}$ za $n = 2k-1$ ⇒

$f(x) = \dfrac{8}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^2}\sin\dfrac{(2n-1)\pi x}{2}$

Provera: $x = 1$ daje $\frac{8}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8} = 1 = f(1)$ ✓

5.4 Dodatni zadaci za vežbanje (nisu sa vežbi)

Dodatni 1. Odrediti interval konvergencije $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\cdot2^n}$

Prikaži rešenje

Poluprečnik (Dalamber): $R = \lim\Big|\frac{a_n}{a_{n+1}}\Big| = \lim\frac{(n+1)2^{n+1}}{n\cdot2^n} = 2\lim\frac{n+1}{n} = 2$ → konvergira za $-2 < x < 2$ .

Krajevi:

$x = 2$ : $\sum\frac{2^n}{n2^n} = \sum\frac1n$ — harmonijski, divergira.
$x = -2$ : $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ — Lajbnic ( $\frac1n\downarrow0$ ) — konvergira (uslovno).

$D = [-2, 2)$

Dodatni 2. Odrediti interval konvergencije $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$

Prikaži rešenje

$R = \lim\frac{(n+1)^2}{n^2} = 1$ . Krajevi: $x = 1$ : $\sum\frac{1}{n^2}$ konvergira; $x = -1$ : $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ apsolutno konvergira.

$D = [-1, 1]$ (oba kraja unutra — uporedi sa Dodatnim 1!)

Dodatni 3. Odrediti interval konvergencije $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n!\,x^n$

Prikaži rešenje

$R = \lim\frac{n!}{(n+1)!} = \lim\frac{1}{n+1} = 0$ .

$D = \{0\}$ — red konvergira samo u nuli (faktorijel raste prebrzo).

Dodatni 4. Razviti $f(x) = x$ na $[-\pi, \pi]$ u Furijeov red · ↗ cos nπ = (−1)ⁿ

Prikaži rešenje

$f(x) = x$ je neparna → $a_n = 0$ za sve $n$ ; ostaje sinusni red sa

$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin nx\,dx \overset{\text{p.i.}}{=} \frac{2}{\pi}\Big({-\frac xn\cos nx}\Big|_0^{\pi} + \frac1n\int_0^{\pi}\cos nx\,dx\Big) = \frac{2}{\pi}\cdot\Big({-\frac{\pi}{n}}\Big)(-1)^n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$

$x = 2\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$ , $\;x\in(-\pi,\pi)$

Bonus: za $x = \frac{\pi}{2}$ dobija se Lajbnicova suma $1 - \frac13 + \frac15 - \cdots = \frac{\pi}{4}$ .

Dodatni 5. Razviti $f(x) = |x|$ na $[-\pi, \pi]$ u Furijeov red

Prikaži rešenje

$|x|$ je parna → $b_n = 0$ ; kosinusni red:

$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\,dx = \pi, \qquad a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos nx\,dx \overset{\text{p.i.}}{=} \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\cos n\pi - 1}{n^2} = \frac{2\big((-1)^n - 1\big)}{\pi n^2}$

Za parno $n$ : $a_n = 0$ ; za neparno: $a_n = -\frac{4}{\pi n^2}$ → preindeksiraj $n = 2k-1$ :

$|x| = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(2n-1)x}{(2n-1)^2}$

Bonus: za $x = 0$ : $\;0 = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum\frac{1}{(2n-1)^2} \Rightarrow \sum\frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ ✓ (isti rezultat kao F1v!)

Brza mapa: prepoznaj tip zadatka

Šta vidiš na testu	Tip	Ključni prvi potez
$y’ = $ proizvod „samo $x$ ” · „samo $y$ ”	DJRP	razdvoj pa $\int$
svuda $\frac{y}{x}$	homogena	$u = \frac yx$ , $y' = u'x+u$
$y' + f(x)y = g(x)$	linearna	$y = uv$ , anuliraj zagradu
$y' + f(x)y = g(x)y^{\alpha}$	Bernulijeva	$y = uv$ (isto), pa razdvajanje za $u$
ništa od navedenog po $y$	probaj $x = x(y)$	$y' = \frac{1}{x'}$
$y'' = \ldots$ bez $y$	snižavanje reda	$y' = p(x)$ , $y'' = p'$
$y'' = \ldots$ bez $x$	snižavanje reda	$p = p(y)$ , $y'' = p'p$
$y = x\,f(y') + \varphi(y')$	Lagranžova	$y' = p$ , diferenciraj po $x$ , pređi na $x(p)$
$y = xy' + \varphi(y')$	Klerova	opšte: $y' \to C$ ; singularno: druga grana
$y' = P y^2 + Qy + R$ , dato $y_1$	Rikatijeva	odredi $a$ , pa $y = y_1 + \frac1z$ → linearna
$y'' + ay' + by = 0$	homogena LDJ	karakteristična jednačina
$y'' + ay' + by = Q(x)$ , $Q$ tablični	neodređeni koeficijenti	KJ, pa oblik $y_p$ (pazi rezonancu!)
$Q(x)$ nije tablični ( $\frac{1}{\sin x}$ …)	varijacija konstanti	sistem za $C_1', C_2'$
$\sum a_n$ sa $n!$ , $a^n$ , proizvodima	Dalamber	$\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$\sum(\ldots)^n$	Košijev koreni	$\lim\sqrt[n]{a_n}$
$\sum \sim \frac{1}{n^{\alpha}}$ po ponašanju	poredbeni	uporedi sa $\sum\frac{1}{n^{\alpha}}$
$\sum\frac{1}{n\ln^{\alpha}n}$	integralni	smena $t = \ln x$
$\sum(-1)^na_n$	Lajbnic + apsolutna	prvo $\sum\|a_n\|$ , pa Lajbnic
$\sum f_n(x)$ , „uniformno”	Vajerštras	majoranta $a_n \ge \|f_n(x)\|$
$\sum a_nx^n$ , „interval konvergencije”	stepeni red	$R$ , pa krajevi posebno
„razviti u Furijeov red”	Furije	parnost! pa koeficijenti p.i.
„naći sumu $\sum\frac{1}{n^2}$ …”	Furije trik	uvrsti pogodno $x$ u razvoj

Mini-test za samoproveru (uradi bez gledanja u skriptu)

Reši $y' = \frac{2}{x}y - x$ . 2. Reši $y'' - 4y = 4e^{-2x}$ (pazi: rezonanca!). 3. Ispitaj konvergenciju $\sum\frac{3^nn!}{n^n}$ . 4. Odredi interval konvergencije $\sum\frac{(-1)^n}{2^n(2n-1)}(x-2)^n$ . 5. Razvij $f(x) = x$ , $0<x<2$ , po sinusima.

Sva rešenja su gore u skripti (zadaci 9/1.vežbe, 7/3.vežbe, A.3.b/4.vežbe, 2.d/5.vežbe, F3.a/5.vežbe). Ako su ti sva tačna — spreman si za prvi test.