Kartice — brzo ponavljanje

Razdvajanje promenljivih: $\dfrac{dy}{Q(y)} = P(x)\,dx$, pa integrali obe strane (+ jedna konstanta $C$).

Homogena: $u = \dfrac yx$, $y = ux$, $y' = u'x + u$ → razdvajanje po $u$ i $x$.

Linearna: smena $y = uv$; $v$ iz $v' + f(x)v = 0$ (bez konstante!), pa $u'v = g(x)$ — tu ide $C$.

Bernulijeva. Ista smena $y = uv$; korak $v$ isti kao kod linearne, korak $u$ razdvaja promenljive: $\int u^{-\alpha}du = \int g\,v^{\alpha-1}dx$.

Inverziju: posmatraj $x = x(y)$, veza $y' = \dfrac{1}{x'}$ — često postane linearna/Bernulijeva po $x$.

$y' = p(x)$, $y'' = p'$ — red pada za jedan; na kraju još jedna integracija za $y$.

$p = y'$ ali $p = p(y)$, i ključna formula $y'' = p'\,p$ (gde je $p' = \frac{dp}{dy}$).

Lagranžova: $y' = p$, diferenciraj po $x$, podeli sa $\frac{dp}{dx}$ → jednačina po $x(p)$. Rešenje parametarski: $x = x(p;c)$, $y = xf(p)+\varphi(p)$.

Klerova. Opšte: $y = Cx + \varphi(C)$ (samo zameni $y' \to C$). Singularno: iz $x = -\varphi'(p)$, parametarski — obvojnica pravih.

Rikatijeva: odredi parametar u $y_1$ uvrštavanjem, pa smena $y = y_1 + \dfrac1z$ → linearna po $z$.

$e^{r_1x}$

$e^{rx},\; xe^{rx},\; \ldots,\; x^{p-1}e^{rx}$ (ukupno $p$ rešenja).

$e^{\alpha x}\cos\beta x$ i $e^{\alpha x}\sin\beta x$.

Ako je $a$ koren KJ višestrukosti $p$: $\;y_p = (\text{pun polinom stepena } m)\,e^{ax}\cdot x^{p}$ — dodatni faktor $x^p$!

$y_p = e^{\alpha x}\big(R_m\cos\beta x + T_m\sin\beta x\big)$, $m = \max$ stepena — uvek OBA (cos i sin); ako je $\alpha+i\beta$ koren KJ višestrukosti $p$, još $\times x^p$.

Varijacija konstanti: $y = C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2$ uz sistem $C_1'y_1 + C_2'y_2 = 0$; $\;C_1'y_1' + C_2'y_2' = Q(x)$.

Hiperharmonijski: konvergira za $\alpha > 1$ (divergira $\alpha \le 1$). Geometrijski: konvergira za $|q| < 1$.

Potreban uslov: da li $a_n \to 0$? Ako ne teži nuli — red divergira, kraj (nikakav Lajbnic ne pomaže).

Dalamber: $\ell = \lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$; $\ell<1$ KV, $\ell>1$ DV, $\ell=1$ nema odgovora.

Košijev koreni: $\ell = \lim\sqrt[n]{a_n}$; ista pravila ($<1$ KV, $>1$ DV, $=1$ ništa).

Integralni (smena $t = \ln x$): konvergira za $\alpha > 1$, divergira za $\alpha \le 1$.

1. Ispitaj $\sum|a_n|$: KV → apsolutna. 2) Ako DV → Lajbnic: $(a_n)\downarrow$ i $a_n\to0$ → uslovna.

Nađi majorantu: $|f_n(x)| \le a_n$ nezavisno od $x$; ako $\sum a_n$ konvergira ⇒ red uniformno konvergira. (Majoranta = max preko izvoda ili gruba ocena $|\sin|\le1$.)

$e$; $\;e^{-1}$; $\;1$. (I opšte: $\big(1+\frac{k}{n}\big)^n \to e^k$.)

$\sin a_n \sim a_n$ i $\ln(1+a_n) \sim a_n$ — pa drugi poredbeni kriterijum sa $\ell = 1$.

Znak razlike $a_{n+1} - a_n < 0$, ili preko funkcije: $a_n = f(n)$, znak $f'(x)$ (dovoljno od nekog $n_0$ — konačno mnogo članova ne smeta).

$R = \lim\Big|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\Big|$ (obrnut Dalamber!) ili $R = \dfrac{1}{\lim\sqrt[n]{|a_n|}}$. $a_n$ = koeficijent, bez $x^n$!

Ispitaj krajeve $x = x_0 \pm R$ posebno: uvrsti u red pa Lajbnic/poredbeni/potreban uslov. Tek onda zapiši $D$ sa pravim zagradama.

$a_n = \dfrac1\pi\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx$, $\;b_n = \dfrac1\pi\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$; red: $\dfrac{a_0}{2} + \sum(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$.

Parna: svi $b_n = 0$ → kosinusni red; neparna: svi $a_n = 0$ → sinusni red. Ostali koeficijenti: $\frac2\ell\int_0^{\ell}$.

Produži neparno na $(-\ell, \ell)$: $a_n = 0$, $\;b_n = \dfrac2\ell\displaystyle\int_0^{\ell}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{\ell}dx$. (Po kosinusima: parno produženje.)

$(-1)^n$; $\;0$; $\;0$ za parno $n$, $(-1)^{k-1}$ za $n = 2k-1$ (preživljavaju samo neparni!).

Dve putanje sa različitim vrednostima: prave $y = kx$ (probaj $k=1,2$), pa krive $y = x^2$… Različite vrednosti ⇒ limes ne postoji (mora biti jedinstven).

Smena ($t = xy$, npr. $\frac{\sin xy}{xy}\to1$); polarne koordinate (rezultat ne zavisi od $\varphi$); ocena + uklještenje ($0\le|f|\le g\to0$).

1. neprekidnost; 2) parcijalni izvodi po definiciji; 3) limes $\dfrac{f(\Delta x,\Delta y) - f - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} = 0$? (probaj $\Delta y = \Delta x$!). Padne li 1) ili 2) — nije diferencijabilna.

⇒ neprekidnost i ⇒ postojanje parcijalnih izvoda. Obrati ne važe (npr. $\sqrt[3]{x^3+y^3}$: neprekidna, ima izvode, nije diferencijabilna).

Ostale promenljive tretiraš kao konstante. Po definiciji (limes količnika priraštaja) — u „problematičnim” tačkama deo-po-deo funkcija, tipično $(0,0)$.

Sistem $f_x = 0$, $f_y = 0$. $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$, $C = f_{yy}$: $AC - B^2 > 0$ i $A>0$ min; $A<0$ max; $AC - B^2 < 0$ sedlo.

Silvester na Hesijanu: $D_1, D_2, D_3 > 0$ → minimum; naizmenično $D_1 < 0, D_2 > 0, D_3 < 0$ → maksimum.

$F = f + \lambda g$; sistem $F_x = F_y = F_\lambda = 0$ → tačke i $\lambda$; znak $d^2F$ uz diferenciranu vezu ($dg = 0$ daje npr. $dx = -dy$); $d^2F > 0$ min, $< 0$ max.

Diferenciraj vezu $g = 0$ → linearna relacija među $dx, dy$ → uvrsti u $d^2F$ pa tek onda čitaj znak. (Ovaj korak nosi poene!)

$x = \rho\cos\varphi$, $y = \rho\sin\varphi$; $x^2+y^2 = \rho^2$; $\;dxdy = \rho\,d\rho\,d\varphi$ — ne zaboravi $\rho$!

Cilindrične: $\rho$. Sferne: $\rho^2\sin\theta$ (i $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$, $\theta\in[0,\pi]$ od $+z$ ose).

$x = \rho\cos\varphi\sin\theta$, $\;y = \rho\sin\varphi\sin\theta$, $\;z = \rho\cos\theta$.

$V = \iint_D(\text{gornja} - \text{donja})\,dxdy$; $D$ = projekcija preseka površi (izjednači jednačine / saberi ih).

$ds = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}\,dt$; za grafik: $ds = \sqrt{1 + g'^2}\,dx$. (1. vrsta ne zavisi od smera!)

$dS = \sqrt{1 + Z_x^2 + Z_y^2}\,dxdy$; za sferu: $dS = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,dxdy$. Za konus $z = \sqrt{x^2+y^2}$: $dS = \sqrt2\,dxdy$.

Od orijentacije (promena smera menja znak). Parametrizuj u zadatom smeru: $dx = x'dt$…, pa $\int_a^b(Px' + Qy' + Rz')dt$.

$0$; $\;2\int_0^a$. Štedi ogromno vreme kod Furijea i višestrukih integrala!

$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D\Big(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\Big)dxdy$. Uslovi: pozitivan smer obilaska i $P, Q$ neprekidni na celoj oblasti (singularitet unutra → trik ili ne sme).

$\iint_S P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iiint_V\Big(\dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}\Big)dV$ — površ zatvorena, integracija po spoljašnjoj strani.

$\oint_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_S\begin{vmatrix}\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R\end{vmatrix}dS$ — smer obilaska usklađen sa normalom (površ sleva).

$\vec n = \dfrac{(-p, -q, 1)}{\pm\sqrt{1+p^2+q^2}}$, $p = f_x$, $q = f_y$. Znak: $+$ ako je $\cos\gamma > 0$ (normala „naviše”), $-$ ako naniže — čitaj iz zadate strane!

$f'g + fg'$; $\quad\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$.

$\big(f(g)\big)' = f'(g)\cdot g'$; $\;\big(e^{-x^2}\big)' = e^{-x^2}\cdot(-2x)$.

$t = \ln x$, $dt = \frac{dx}{x}$: $\;\dfrac{\ln^2x}{2} + C$.

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$; $u$ = ono što se diferenciranjem pojednostavljuje (polinom, $\ln$), $dv$ = ono što umeš da integrališ.

$\dfrac{1-\cos2x}{2}$; $\quad 2\cos^2\dfrac t2$ (pazi: $\sqrt{\ldots} = 2\big|\cos\frac t2\big|$ — apsolutna vrednost!).

$2\sin x\cos x$; $\quad\cos^2x - \sin^2x = 1 - 2\sin^2x = 2\cos^2x - 1$.

$4i$; $\quad\alpha = \dfrac{-b}{2a}$, $\;\beta = \dfrac{\sqrt{|D|}}{2a}$.

$\ln x + \ln y$; $\;\alpha\ln x$; $\;x$. (I: $\ln|y| = x + C_1 \Rightarrow y = Ce^x$.)

$\arctan x + C$; $\quad\arcsin x + C$.

$\sin$: $\frac12$, $\frac{\sqrt2}{2}$, $\frac{\sqrt3}{2}$; $\;\cos$: obrnuto — $\frac{\sqrt3}{2}$, $\frac{\sqrt2}{2}$, $\frac12$.

$\dfrac1x - \dfrac{1}{x+1}$ (opšte: $\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$, pa izjednači koeficijente).

$(r-2)^3$; $\quad(r^2-4)(r^2+4) = (r-2)(r+2)(r^2+4)$.